Primitive d'une fonction holomorphe, et dev. de Laurent

[invite42f885fe]

Bonjour,
J'ai besoin de votre confirmation.

Soit f une fonction holomorphe sur Ω un ouvert connexe.
Je pense qu'on peut démontrer qu'elle admet une primitive sur Ω, via un point a, et la valeur de cette primitive en a serait l'intégrale curviligne de f sur un chemin de Ω menant de a à z.
A priori je ne vois pas d'hypothèses supplémentaires concernant Ω.
De là on peut démontrer le Théorème Intégral de Cauchy.

Pourtant sur wikipedia

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...gral_de_Cauchy

L'hypothèse de l'énoncé du théorème est un ouvert simplement connexe.
Le caractère simple est-il superflu ou nécessaire ? Je ne vois pas où...

Si ça m'ennuie, c'est que pour le développement en série de Laurent on a une fonction holomorphe sur un ouvert connexe, qui n'est pas simple puisque privé d'un (ou plusieurs) point(s).
Et pourtant on fait appel au théorème de Cauchy.

Où est ce que je me vautre ?
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[invite57a1e779]

l'intégrale curviligne de f sur un chemin de Ω menant de a à z.

Le problème est que la valeur de l'intégrale dépend du chemin.

[invite42f885fe]

Oui, mais je ne vois pas en quoi est ce un problème ?

[acx01b]

dans ton ouvert connexe tu dois pouvoir trouver un petit ouvert simplement connexe non ? l'unicité du prolongement analytique fera le reste

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

je ne sais pas pourquoi j'ai dit ça. il ne faut pas que tu enlaces de singularité pour que l'histoire de l'unicité du prolongement analytique soit valable. prends n'importe quelle singularité (1/x^n, ln x, sqrt(x), etc ..) pour le vérifier

[invite42f885fe]

En fait je veux juste savoir si le caractère simple est utile ou non dans la démonstration du théorème de Cauchy ?

Si oui, comment s'en débarrasser pour obtenir les formules intégrales fournissant les coefficients du développement en série de Laurent ?

[invite42f885fe]

Il y a bien un problème, si j'ai un connexe qui n'est pas simple.

Par exemple exp(1/z) est holomorphe sur C*, connexe non simple.

int(1/z,cercle de centre 0 de rayon 1)=i*2*Pi

Donc il faut bien un connexe simple...
Je sens une histoire d'homotopie derrière tout ça, qu'en pensez vous ?

Quelqu'un sait où trouver un beau cours bien propre en ligne sur le sujet ?

[invite4ef352d8]

"Je sens une histoire d'homotopie derrière tout ça, qu'en pensez vous ?
" >>> comme on te la dit, le probleme c'est qu'à priori la valeur de la primitive que tu construit ainsi dépend du chemin choisit pour calculer l'intégrale et du coup on a plusieur valeur possible pour la primitive F alors qu'elle sensé être essentiellement unique (une fois la valeur en a, l'origine du lacet fixé...). Or le théorème de Cauchy nous dit que la valeur de l'intégrale ne dépend pas du lacet mais seulement de sa classe d'homotopie, donc oui il y a bien une histoire d'homotopie derrière tout ca !