Series et suites de fonctions

[invite3b50103a]

Bonjour a tous,

Je vais peut etre posé une question bete mais bon tanpis . Quelle est la différence entre une série de fonction et une suite de fonction ?

J'ai une autre question aussi : Il y a un théoréme ( convergence bornée ou dominée je ne sais plus ) qui permet d'echanger somme et intégrale et un autre théoréme ( integration terme a terme ) qui permet lui aussi d'echanger somme et intégrale. Ma question est : quand sait on qu'il faut appliquer le premier ou le second quand on veut intervertir les deux symboles?

Merci d'avance !

Nico
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[Tiky]

Fondamentalement, il n'y a pas de différence entre une série et une suite de fonctions. Tu peux toujours voir une série comme la suite de ses sommes partielles et inversement tu peux transformer une suite en une série.

Quant aux deux théorèmes que tu cites, le second est beaucoup moins fort que le premier. Il faut donc l'utiliser dans les cas simples mais il nécessite plus d'hypothèses.

[invite0a963149]

Ben le Théorème de la Convergence Dominée, c'est pour les intégrales généralisées.

Le théorème d'interversion intégrale série c'est pour les intégrales non généralisées et ne nécésite qu'une convergence uniforme

[invite3b50103a]

Merci de vos réponses.

Mais quel est la différence entre une intégrale généralisée et une intégrale non généralisée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Ben le Théorème de la Convergence Dominée, c'est pour les intégrales généralisées.

Non, pas du tout, je vous conseille de revoir son énoncé. Ou alors je ne comprends pas ce que vous désignez par "intégrales généralisées".... J'étais en sup / spé P' en 93/94.... mais j'ai fait des maths depuis !

C'est essentiellement un théorème d'interversion signe intégral / limite.... A noter que la somme utilisée dans une série est une intégrale par rapport à la mesure de décompte sur les entiers, donc l'utilisation du théorème de la convergence dominée est appliquable aux séries également.

[invite0a963149]

je suis un spé maths cette année, je suis entrain de passer les concours en ce moment, et j'ai le TCD dernière mon dos.

Le TCD c'est pour les intégrales généralisées à paramètres, alors que le théorème d'interversion est pour les intégrales "normales". Je chope mon cours et je vous en dit plus

[édit] Non après réflexion, les deux sont valides pour les intégrales généralisée, mais le TCD nous donne plus de conclusions (incluant une interversion)

[invite0a963149]

[édit bis] et le TCD c'est pour les limites, pas les séries, pour les séries c'est juste un théorème de Lebesgue.