bonjour
jai un exercice sur les morphismes de goupes que j'ai pas reussit a faire:
1/ Exercice : On considère sur ]0,1[ la loi * définie par :
∀x,y∈├]0,1┤[: x*y=(x+y)/(1+xy)
Montrer que *) est une loi de composition interne dans ]0,1[.
Montrer que (├]0,1┤[,*) est isomorphe à (R,+).
2/ donner un exemple de structure algébrique tel que l'élément neutre à gauche existe et l'élément neutre à droite existe mais ils ne sont pas égaux.
Je pense qu'il s'agit de ]-1;1[ !
c'est une loi interne:
vous pouvez voir une démonstration ici: http://www.proofwiki.org/wiki/Group_..._y_/_1_%2B_x_y
(regardez en bas , à "closure")
D'ailleurs il y a sur cette page la démonstration complète de: (]-1;1[,*) est un groupe.
On peut prendre comme isomorphisme tanh(x) (tangente hyperbolique), cette fonction bijective de R dans ]-1;1[ vérifiant la propriété:
tanh(x+y)=[tanh(x)+tanh(y)]/[1+tanh(x)tanh(y)]
On aura ainsi un isomorphisme de (R,+) dans ]-1;1[.
Remarque: la loi * est interne dans ]0;1[, mais (]0;1[,*) n'est pas un groupe, par ex parce qu'il n'y pas d'élément neutre.(le seul candidat, c'est 0)
dans une structure algébrique à une loi, s'il existe un élément neutre à gauche et s'il existe un élément neutre à droite, ils sont nécessairement égaux
