Métrique sur un corps totalement ordonné

**Seirios** · 27/04/2011, 13h43

Bonjour à tous,

J'aurais une question sur un théorème que l'on trouve sur la page de wikipédia sur les nombres réels :

$\text{[math]}$ est le seul corps totalement ordonné à la fois archimédien et complet.

Mais pour dire que $\text{[math]}$ est complet, il faut lui associer une métrique.

Ma question est donc : Associe-t-on canoniquement une métrique à un corps totalement ordonné ?

Merci d'avance,
Seirios

**Seirios** · 28/04/2011, 09h35

Apparemment, ce ne serait pas complet au sens métrique : sur un corps totalement ordonné, on peut définir une valeur absolue (mais qui n'est pas à valeur dans $\text{[math]}$ ) $\text{[math]}$ , et alors on définit les suites de Cauchy de la même manière que dans $\text{[math]}$ . Alors le corps sera complet dans le sens où toutes les suites de Cauchy ainsi définies seront convergentes.
Donc il n'est pas question de métrique. D'ailleurs, en interprétant ainsi la complétude, la propriété mentionnée est vraie.

**God's Breath** · 28/04/2011, 10h08

Pour parler de complétude, il n'est pas besoin d'une métrique, une structure uniforme suffit.

On a tout d'abord une structure topologique définie par l'ordre : une base de cette topologie est constituée des intervalles ouverts.
Ensuite, on définit un système fondamental d'une structure uniforme en considérant les ensembles : $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ décrit l'ensemble des voisinages de l'origine.

**Seirios** · 04/05/2011, 14h50

Je suis allé voir dans le Bourbaki pour me familiariser avec les structures uniformes. Par contre, les entourages que vous donnés ne sont pas des parties de $\text{[math]}$

Personnellement, j'aurais tendance à définir la structure uniforme par le système fondamental d'entourages : $\text{[math]}$ , r>0.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**God's Breath** · 04/05/2011, 18h50

Envoyé par Seirios (Phys2)

ar contre, les entourages que vous donnés ne sont pas des parties de $\text{[math]}$ .

Parce que je les ai écrits à l'envers ; les entourages fondamentaux sont les $\text{[math]}$ .
Autrement dit, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont proches lorsque $\text{[math]}$ est dans un voisinage de $\text{[math]}$ .

invite4ef352d8 · 04/05/2011, 22h26

Cela dit le théorème est vrai dans un cadre métrique avec :

les seuls corps valué complet archimédien sont R et C

**God's Breath** · 05/05/2011, 05h55

Envoyé par Ksilver

les seuls corps valué complet archimédien sont R et C

Comment le corps C peut-il être archimédien ?

invite986312212 · 05/05/2011, 08h33

il ne l'est pas pour l'ordre lexicographique (vu comme R^2) en tout cas

**Seirios** · 05/05/2011, 08h40

En définissant l'ordre par $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est archimédien, non ?

invite986312212 · 05/05/2011, 09h47

sauf que ça n'est pas une relation d'ordre, elle n'est pas antisymétrique.

**Seirios** · 05/05/2011, 10h21

Effectivement, je n'avais pas fait attention...

invite4ef352d8 · 05/05/2011, 14h13

C est achimédien au sens où les entiers forme une suite non borné (et donc ou pour tous z il existe n tel que |z|<|n| )

**Seirios** · 10/05/2011, 19h42

J'aimerais revenir sur la définition de la complétude d'un corps totalement ordonné : dans un document, j'ai donc lu qu'un corps K complétement ordonné était complet si toutes les suites de Cauchy convergeaient, en disant que $\text{[math]}$ et de Cauchy si : $\text{[math]}$ . D'un autre côté, K est complet si tout filtre de Cauchy converge, en munissant K de la structure uniforme donnée par God's Breath.

J'aimerais savoir si c'est deux définitions sont équivalentes. On peut montrer facilement qu'une suite est de Cauchy (au sens donné ci-dessus) ssi le filtre élémentairement associé à cette suite est un filtre de Cauchy, donc cela revient à se demander si on peut dire que K est complet ssi les filtres de Cauchy associés à une suite convergent (on restreinte donc a priori les filtres utilisés).

Qu'en pensez-vous ?

**Seirios** · 02/08/2011, 09h30

Je suis revenu sur le problème que j'ai évoqué dans mon post précédent. Je pense l'avoir résolu :

Je rappelle le cadre : on se place dans un corps totalement ordonné K, on définit $\text{[math]}$ , on dit qu'une suite $\text{[math]}$ converge vers x si $\text{[math]}$ , on dit qu'elle est de Cauchy si $\text{[math]}$ , on munit K de la structure uniforme qui a pour base $\text{[math]}$ où V parcourt les intervalles ouverts contenant 0.

On veut alors montrer que K est complet ssi toutes les suites de Cauchy sont convergentes.

Supposons K complet. Soit $\text{[math]}$ une suite de Cauchy. Considérons le filtre $\text{[math]}$ associé à cette suite. Soit $\text{[math]}$ . Par définition, il existe $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Donc $\text{[math]}$ est petit d'ordre $\text{[math]}$ . Par conséquent, $\text{[math]}$ est un filtre de Cauchy, et converge donc vers un point $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ . Alors il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . Or il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . Ainsi, pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ c'est-à-dire que $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ .

Réciproquement, supposons que toute suite de Cauchy dans K converge. Soit $\text{[math]}$ un filtre de Cauchy. Supposons qu'il existe une suite $\text{[math]}$ strictement décroissante convergeant vers 0. Remarquons tout d'abord que $\text{[math]}$ est un système fondamental d'entourages. Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Il est alors possible de construire par récurrence la suite $\text{[math]}$ de la manière suivante : pour tout $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ ; on prend alors $\text{[math]}$ . Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . Alors pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Or $\text{[math]}$ , donc pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Ainsi, $\text{[math]}$ est une suite de Cauchy et converge vers un point $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ . Alors $\text{[math]}$ est une base de filtre telle que x lui est adhérent. Notons $\text{[math]}$ le filtre engendré par $\text{[math]}$ . Or pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ est un filtre de Cauchy, et par conséquent converge vers x. De plus, $\text{[math]}$ est clairement plus fin que $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ converge vers x.

Je ne sais pas s'il est possible de systématiquement trouver une suite strictement décroissante convergeant vers 0 quelque soit le corps dans lequel on se place. Il est naturel de penser à $\text{[math]}$ , mais elle ne converge vers 0 que si K est archimédien. Dans tous les cas, il est possible est considérer le cas où il n'existe pas de telle suite :

Dans le cas où il n'existe pas de suite strictement décroissante convergeant vers 0, il n'existe pas de suite non stationnaire convergeant vers 0, c'est-à-dire que 0 est un point isolé. Etant donné que la relation d'ordre est compatible avec +, tous les points de K sont alors isolés. De manière plus précise, il existe $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Dans ce cas, $\text{[math]}$ (la diagonale de $\text{[math]}$ ) est un entourage, et donc toute filtre de Cauchy contient un ensemble petit d'ordre $\text{[math]}$ , c'est-à-dire un singleton. Donc tout filtre de Cauchy est un filtre principal, qui converge bien. Ensuite, toute suite de Cauchy est nécessairement stationnaire, et converge donc également.

On a ainsi bien prouvé l'équivalence annoncée.

Par contre, j'aimerais assez savoir s'il est possible de trouver de manière systématique une suite $\text{[math]}$ dans tout corps.

**Seirios** · 02/08/2011, 09h35

En fait, si l'on souhaitait faire le même type de démonstration dans le cas métrique, on aurait une démonstration quasiment identique à celle-ci, alors qu'ici on aurait tout simplement pu se placer dans le cas où K est un groupe commutatif muni d'une valuation |.| (qui n'est pas à valeur dans $\text{[math]}$ ).

Connaitriez-vous des références sur la topologie dans de telles structures ?

**am2004** · 03/08/2011, 01h15

Bonjour,
je pense que l'article dont je fais suivre le résumé paru dans les MathReviews (http://www.ams.org/mathscinet/index.html) a un lien avec ta question.

MathJax is on Publications results for "Items authored by or related to Scott, Dana S. "
Citations

From References: 6

From Reviews: 3
MR0245560 (39 #6866)
Scott, Dana
On completing ordered fields. 1969 Applications of Model Theory to Algebra, Analysis, and Probability (Internat. Sympos., Pasadena, Calif., 1967) pp. 274–278 Holt, Rinehart and Winston, New York
12.70 (06.00)
PDF Clipboard Series Chapter Make Link

If K,L are ordered fields such that K⊆L, then K is called (order)-dense in L if between any two comparable elements of L there is an element of K. An ordered field K is called complete if it has no proper extension to an ordered field in which K is order-dense. Theorem 1: Given any ordered field K, there is a complete ordered field Kˆ in which K is dense. Any other complete ordered field in which K is dense is isomorphic to Kˆ by a unique isomorphism that is the identity on K.
Theorem 2: If K is order-dense in L and K−−,L−− denote the real closure of K,L, respectively, then K−− is order dense in L−−. In a final section ("Historical remarks'') the author points to similar results for ordered Abelian groups due to Cohen and Goffman and discusses his theorems in the light of their existence.
Reviewed by G. H. Wenzel

**Seirios** · 04/08/2011, 08h24

Envoyé par Seirios (Phys2)

Par contre, j'aimerais assez savoir s'il est possible de trouver de manière systématique une suite $\text{[math]}$ dans tout corps.

J'ai trouvé la réponse à cette question dans l'article Ordered fields and metrizability ; l'existence de cette suite implique que le corps soit "first-countable", et donc métrisable. L'exemple 2 donne d'ailleurs un exemple de corps ordonné dans lequel une telle suite n'existe pas (le corps des hyperréels).

**Seirios** · 04/08/2011, 21h47

Envoyé par Seirios (Phys2)

Dans le cas où il n'existe pas de suite strictement décroissante convergeant vers 0, il n'existe pas de suite non stationnaire convergeant vers 0, c'est-à-dire que 0 est un point isolé.

Complètement faux...Finalement, je pense que la convergence des suites de Cauchy n'est pas équivalente à la complétude (au sens de la structure uniforme donnée plus haut). Il me semble en effet que cette complétude implique la propriété de la borne supérieure :

Soit $\text{[math]}$ borné. Soit M un majorant strict. Considérons $\text{[math]}$ . Alors B est une base de filtre. Soit un entourage $\text{[math]}$ (défini plus haut). Soit $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . On peut écrire $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ , et on pose $\text{[math]}$ , soit on prend le plus grand indice p tel que pour tout i>p, $\text{[math]}$ , et on pose $\text{[math]}$ . Alors $\text{[math]}$ . On en déduit que B est une base de filtre de Cauchy, et que B converge vers un point $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ . Alors $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ . Ainsi, x majore A. Ensuite, tout voisinage de x intersecte A donc pour tout $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . Donc $\text{[math]}$ .

Or on peut montrer que K vérifie la propriété de la borne supérieure ssi toute suite de Cauchy converge et K est archimédien. Pour trouver un contre-exemple, il suffit donc de considérer un corps ordonné non archimédien, comme le corps des hyperréels.

Par contre je n'ai pas encore étudié la réciproque. Avec un peu de chance, la complétude est équivalente à la propriété de la borne supérieure.

**Seirios** · 05/08/2011, 04h43

En fait, pour la réciproque, il suffit de prendre mon raisonnement précédent avec $\text{[math]}$ :

Envoyé par Seirios (Phys2)

Soit $\text{[math]}$ un filtre de Cauchy. Supposons qu'il existe une suite $\text{[math]}$ strictement décroissante convergeant vers 0. Remarquons tout d'abord que $\text{[math]}$ est un système fondamental d'entourages. Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Il est alors possible de construire par récurrence la suite $\text{[math]}$ de la manière suivante : pour tout $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ ; on prend alors $\text{[math]}$ . Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . Alors pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Or $\text{[math]}$ , donc pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Ainsi, $\text{[math]}$ est une suite de Cauchy et converge vers un point $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ . Alors $\text{[math]}$ est une base de filtre telle que x lui est adhérent. Notons $\text{[math]}$ le filtre engendré par $\text{[math]}$ . Or pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ est un filtre de Cauchy, et par conséquent converge vers x. De plus, $\text{[math]}$ est clairement plus fin que $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ converge vers x.

On trouve donc qu'un corps ordonné est complet ssi il vérifie la propriété de la borne supérieure. Dans ce sens, il n'y a en fait qu'un seul corps ordonné complet : le corps des réels.

**Seirios** · 09/08/2011, 10h55

Envoyé par am2004

If K,L are ordered fields such that K⊆L, then K is called (order)-dense in L if between any two comparable elements of L there is an element of K. An ordered field K is called complete if it has no proper extension to an ordered field in which K is order-dense. Theorem 1: Given any ordered field K, there is a complete ordered field Kˆ in which K is dense. Any other complete ordered field in which K is dense is isomorphic to Kˆ by a unique isomorphism that is the identity on K.
Theorem 2: If K is order-dense in L and K−−,L−− denote the real closure of K,L, respectively, then K−− is order dense in L−−. In a final section ("Historical remarks'') the author points to similar results for ordered Abelian groups due to Cohen and Goffman and discusses his theorems in the light of their existence.
Reviewed by G. H. Wenzel

Quel sens à complet ici ?

Envoyé par Seirios (Phys2)

Il me semble en effet que cette complétude implique la propriété de la borne supérieure :

Soit $\text{[math]}$ borné. Soit M un majorant strict. Considérons $\text{[math]}$ . Alors B est une base de filtre. Soit un entourage $\text{[math]}$ (défini plus haut). Soit $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . On peut écrire $\text{[math]}$ .

Encore une erreur : Pour écrire $\text{[math]}$ sous cette forme, il faut supposer qu'il existe un entier k tel que $\text{[math]}$ , ce qui revient à supposer le corps archimédien...

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