Bonjour/bonsoir,
Voici l'exo sur lequel je bloque:
Nom : alglin.jpg Affichages : 57 Taille : 94,7 Ko
Voici ce que j'ai fait:
1.) Pas de problème pour montrer que la famille est libre (polynomes de degrés croissants, on peut s'en convaincre par l'absurde) + longueur => base de Rn[X]
Le calcul me donne: Si n<p

Si n>p :

2.)a.) Aucune difficulté pour la linéarité. Mais pour le noyau c'est plutot dur: si PKer() on a P(X+1)-P(X)=0
Or si deg(P)=n>0 on a deg(P(X+1)-P(X))=n-1 car en calculant on trouve que et
Ainsi les seuls cas ou on aura Delta=0 sont les polynomes constants, donc .
(Reciproque claire)
Je pense que c'est bon, qu'en pensez-vous? (J'ai vraiment eu du mal à la trouver).

2.)b. L'inclusion est triviale.
Le noyau est évidemment le même que pour , donc de dimension 1. L'image est donc de dimension n (th. du rang) et comme < n , on a Im().
Par récurrence immédiate on trouve alors que .

2.c) (Correct?)
Puis, par récurrence:

Je bloque ici, je ne vois pas comment faire pour exprimer P dans la base voulue...

Merci d'avance pour votre aide.