Bonsoir,
Soitune application d'un espace vectoriel normé compact E vers E telle que :
On me demande de montrer que f admet un unique point fixe sur E, ce que je suis parvenu à faire. Toutefois, j'aurais voulu montrer que f est contractante sur E (ce qui est peut-être faux). Ce qui m'aurait permis ensuite d'appliquer le théorème du point fixe dans un espace complet. Seulement je n'y suis pas parvenu après plusieurs tentatives. Avez-vous une idée ?
Heu ... un espace vectoriel compact ? Drôle de bête que voici !
Je suppose que tu veux dire "d'une partie compacte d'un evn" ?
Pour répondre à ta question, non f n'est pas contractante, c'est justement toute la subtilité de l'exercice. Et de plus, d'après ce que tu nous dit ton espace n'est pas complet, donc il manque un peu beaucoup d'hypothèses pour appliquer ce théorème (point fixe de Picard qu'on l'appelle de par chez nous)
Oui effectivement c'est une partie E compacte d'un espace vectoriel normé. Merci pour ta réponse. Je sais bien que E n'est pas complet, mais je voulais voir si c'était possible de trouver une autre démonstration dans un cas particulier ou l'espace vectoriel était complet. J'ai mal rédigé ma question.
Un exemple de fonction qui satisfait les hypothèses sans être contractante :
Pour résoudre l'exercice, il peut être intéressant d'étudier les propriétés de la fonction :
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
C'est comme ça que je l'ai résoluEnvoyé par God's Breath
Un exemple de fonction qui satisfait les hypothèses sans être contractante :
Pour résoudre l'exercice, il peut être intéressant d'étudier les propriétés de la fonction :
