Exercice projecteur et matrices

[inviteeec6abbe]

Bonjour,

Voilà je bute sur un exercice de base et j'aurais besoin d'une piste

Soit E un ev de dimension 4, et B=(e1,e2,e3,e4) une base de E. On note u l'endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est M égale à :

-1 -2 0 0
1 2 0 0
0 0 1 1
0 0 0 0

Il faut calculer M², ça c'est bon ! Pour montrer que u est un projecteur aussi, par contre je ne comprends pas la question :

Montrer que u est un projecteur, dont on déterminera des bases des directions propres.

Y'a t-il une faute dans la consigne ? J'ai cherche dans les chapitres précédents la définition de direction propre et je ne l'ai pas trouvé.

Merci.
Johan
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Pour un projecteur, les directions propres sont le noyau (espace propre pour la valeur propre 0) et l'image (espace propre pour la valeur propre 1).

[inviteeec6abbe]

Merci pour votre réponse God's Breath. Donc apparemment l'exercice demande les directions propres du projecteur, pas les bases (d'ailleurs les bases d'une application linéaire, ça n'existe pas, si ?)

Per venir à bout de ce problème je dois donc utiliser les notions d'espace propre ? Pourtant, on n'en pas encore parlé dans le cours...

[invite57a1e779]

Montrer que u est un projecteur, dont on déterminera des bases des directions propres.

Il faut déterminer des bases des sous-espaces propres du projecteur, c'est-à-dire une base de l'image et une base du noyau.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeec6abbe]

D'accord merci pour ces indications !