Ensemble non mesurable

[invite48969fb6]

Bonjour,

Je ne comprends pas ce que signifie un ensemble non mesurable. S'agit il d'un espace probabiliste comme en mécanique quantique ou c'est une notion encore plus forte ?

Cordialement.
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[invite4ef352d8]

Non ca n'as absoluement rien à avoir avec cela.

ca dépend du contexte (dans le cas completement général un ensemble non mesurable c'est juste un ensemble qui n'appartiens pas à la tribu, de la même facon que un ensemble ouvert, c'est un ensemble qui appartiens à la topologie ^^ )

les parties mesurable de R sont celle dont la théorie de l'intégration de Lebesgue permet de calculer le "volume", une partie non mesurable c'est donc un ensemble tellement 'moche' qu'on ne peux pas calculer d'intégrale dessus... la construction d'un telle ensemble repose nécessairement sur l'axiome du choix (on peut prouver que sans l'axiome du choix il est impossible de construire une telle partie)

l'exemple le plus classique de partie non mesurable de R est obtenue de la facon suivante :

tu considère le groupe quotients R/Q, pour chaque element dedans tu choisis un relevé dans [0,1], alors l'ensemble des relevé choisis est non mesurable.

[Seirios]

Bonsoir,

Pour un autre exemple, il me semble qu'avec la mesure utilisée dans l'intégrale de Riemann, n'est pas mesurable.

[invite48969fb6]

Quelle est la difference entre dénombrable et mesurable ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Il n'y a aucun rapport : un ensemble est mesurable lorsque l'on s'est donné une structure d'espace mesurable ; un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec .
D'ailleurs, dans l'exemple que je donnais, n'est pas mesurable, mais il l'est avec la mesure de Lebesgue.

[Arkhnor]

Pour un autre exemple, il me semble qu'avec la mesure utilisée dans l'intégrale de Riemann

C'est pas une mesure ... en tout cas pas -additive.
(j'imagine que tu parles de la mesure de Peano-Jordan ...)

[invite48969fb6]

Oui je faisais l'amalgame entre ensemble mesurable et denombrable par abus de language.

Cependant, que signifie q'un ensemble est stable par union dénombrable ? C'est une propriété des tribus que j'ai trouvé sur Wikipedia.

[Arkhnor]

Ce n'est pas un ensemble, mais une famille d'ensembles.

Une tribu sur un ensemble , c'est une famille de sous-ensembles de qui vérifie certaines propriétés, en particulier la stabilité par union dénombrable : si appartient à la tribu pour tout , alors aussi.