résolution d'une equation non linéaire

[invite164df21a]

bonjour à tous, en fait j'ai un problème que ça fait un bout de temps que je tourne en rond sans parvenir à trouver une solution, et j'espère trouver l'aide ici voilà j'ai une éqaution
y=3,2-(16(l^2)(k^3)*(sommeinfinie((( ab/c)z^i)/i!)-sommeinfinie(((ab/c)x^i)/i!))
avec a=1/(n-1), b=3/(n-1), c=1+(3/(n-1)) , z=-K^(n-1), x=-((-K)^n)/K , K=35,95*(1400A*t*exp(-Q/2480,608)^(1/(n-1))
on connait la valeur de y pour des t précis issu de valeurs expérimentales, on cherche à déterminer les valeurs de n, A et Q pour optimiser y et la rapprocher des valeurs expérimentaux, l'ennui est que l'expression de y dépend de K qui est compliquée et j'arrive pas à trouver un issu là!
-----

[invite63e767fa]

Bonjour mecatunis,

ta question est difficilement lisible. Je doute qu'on puisse y répondre dans ces conditions.
Il faudrait écrire les expressions plus clairement, définir tous les symboles qui y figurent (par exemple que signifie l^2 ?), il y a un petit k et des grands K, ...). Préciser ceux qui sont des réels et ceux qui sont des entiers, etc.
Peut-être simplifier les écritures, si :
sommeinfinie((( ab/c)z^i)/i!) = (ab/c)exp(z) en supposant que i est un entier variant de i=0 à l'infini et que a, b, c et z ne sont pas fonction de i.

[invite164df21a]

bonjour, vue que l'écriture précédente n'était pas claire, j'espère que celle ci le sera, je repose alors le problème:
j'ai fait un essai de relaxation 4 points, y est la flèche mesurée après relâchement de la déformation à t =0, donc la valeur de y est connu pour des différents t, je cherche à optimiser les valeurs de n, A et Q pour que la courbe expérimentale s'approche de la courbe théorique, l'ennui est que l'expression de y est compliquée et dépend de k et de z qui sont eux même compliqués, j'ai trouvé des méthodes d'optimisation avec matlab mes les fonctions à optimiser sont beaucoup plus simples que ça et là j'ai pas trouvé un moyen de résoudre ce problème


avec:

[invite63e767fa]

Est-ce que n doit être entier ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite164df21a]

oui n est un entier et l est connu est égal à 13,5

[invite63e767fa]

La façon de poser le problème se simplifie considérablement grâce à quelques transformations et observations qui apparaissent en page jointe.
Ensuite, l'optimisation des paramètres devrait pouvoir être recherchée par une méthode de régression du genre "moindres carrés". Ceci reste à faire...
En tout cas, je n'irai pas plus loin avant que vous n'ayez validé cette première étape.
Est-ce bien cela que vous souhaitez obtenir ?

[invite164df21a]

bonsoir,
merci pour votre effort, j'ai suivi le raisonnement et c'est correct à priori, cependant dans la suite si on trouve une solution à ce problème, ça serait une seule valeur de B (celle que vous avez posé) or B contient 2 inconnus à savoir Q et A donc je ne voit pas comment on peut faire pour résoudre ça et je serai vraiment reconnaissante si vous avez une idée

[invite63e767fa]

B contient 2 inconnus à savoir Q et A donc je ne voit pas comment on peut faire pour résoudre ça

Je suis d'accord. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle j'ai défini une nouvelle inconnue B qui remplace les deux autres.
Avec une seule équation initiale telle que celle que vous avez, il est impossible d'optimiser Q et A indépendamment l'un de l'autre, donc de trouver un seul couple optimum : la seule chose que l'on puisse optimiser, c'est la relation entre Q et A. Ceci est vrai quellle que soit la méthode d'optimisation. Ce n'est pas spécifique de la méthode que j'ai décrite.
Autrement dit, il y a une infinité de couples (Q, A) qui donnent exactement le même résultat. Il manque une équation à la modélisation mathématique pour que l'on puisse discriminer entre cette infinité de couples optimum (Q, A) et n'en déterminer qu'un seul (ce qui alors, optimiserait simultanément l'équation manquante).

[invite164df21a]

bonsoir,

Autrement dit, il y a une infinité de couples (Q, A) qui donnent exactement le même résultat. Il manque une équation à la modélisation mathématique pour que l'on puisse discriminer entre cette infinité de couples optimum (Q, A) et n'en déterminer qu'un seul (ce qui alors, optimiserait simultanément l'équation manquante).

c'est pour ça que j'essaie de chercher une autre méthode, en effet cette équation fait partie du sujet de thèse de mon encadreur bien que ça soit sur d'autre matériaux, il veux que je l'applique sur mon modèle et d'après lui c réalisable, puisque si je détaille mon équation pour différents t(j'ai la valeur de y pour 5 instant différents) ça donne alors 5 équations or j'ai 3 inconnues donc c'est traitable normalement, reste à savoir comment

[invite63e767fa]

si je détaille mon équation pour différents t(j'ai la valeur de y pour 5 instant différents) ça donne alors 5 équations or j'ai 3 inconnues donc c'est traitable normalement, reste à savoir comment

Là, je pense qu'il y a une erreur de raisonnement fondamentale.
Vous pouvez avoir 10 équations, 100 équations, autant que vous voulez, cela ne change rien.
Supposez que vous ayez trouvé l'optimum pour un couple de valeurs (Q=Qo , A=Ao). A ce couple "optimum" correspond une valeur de B :
Bo = 1400 Ao exp(-Qo/2480,608)
Maintenant, prenez au hasard un autre valeur Q=Q1 et calculez
A = A1 = Bo/(1400exp(-Q1/2480,608))
Le nouveau couple (Q1, A1) donne exactement la même équation y(t) que le couple "optimum" (Qo, Ao). Donc (Q1, A1) est tout aussi optimum que (Qo, Ao).
Dans le système (Q, A), vous n'avez pas un seul point (Qo, Ao) donnant l'optimum, mais vous avez une ligne "optimum" correspondant à la relation :
A = Bo/(1400exp(-Q/2480,608))
Vous voyez bien que quelle que soit la méthode d'optimisation que vous choisirez elle ne vous donnera pas un seul point optimum (Qo, Ao). Au mieux, si la méthode d'optimisation choisie est efficace, elle vous donnera un seul paramètre qui carractérise la ligne où sont situés les optimums.

cette équation fait partie du sujet de thèse de mon encadreur bien que ça soit sur d'autre matériaux, il veux que je l'applique sur mon modèle

Il n'y a rien de contradictoire entre la demande de votre encadreur et mon analyse de la situation. Cette équation peut très bien être appliquée et un optimum unique pourrait être trouvé s'il ne manquait rien dans la modélisation. Manifestement, si votre encadreur vous assure que le problème a une solution unique, ce qu'il faut chercher c'est ce qui manque dans votre modèle car, tel que le modèle est actuellement, n'espérez pas trouver une méthode d'optimisation qui réponderait à ce que vous souhaitez.
Ceci est mon avis. Mais, comme personne n'est infaillible, demandez donc l'avis de votre encadreur sur ce point précis (et pas seulement sur un principe trop général de nombre d'équations relativement à un nombre d'inconnues. Demandez-lui son avis sur les notions d'inconnues indépendantes et/ou dépendantes).

[invite164df21a]

bonjour,
merci bien JJacquelin pour votre aide, et je ne manquerai pas de lui demander, en attendant je vais essayé de déterminer B et n et espérons que ça ne bloque pas également

[invite63e767fa]

Est-ce que vous avez une idée sur l'ordre de grandeur que peut prendre n ? Quelques unités ? quelques dizaines ? centaines ? ou plus...
Ce serait très utile pour choisir la méthode et faciliter l'optimisation.

[invite164df21a]

Est-ce que vous avez une idée sur l'ordre de grandeur que peut prendre n ?

normalement ça ne dépasse pas quelques dizaines, même moins, en tout cas j'ai essayé d'appliquer cette méthode d'optimisation avec:
xi = [10800 43200 86400 172800 604800];
yi = [0.6 0.7 1 1.2 1.4];
a0 = [0.1 15];
http://nte.mines-albi.fr/MATLAB/co/uc_NonLineaire.html
Mais c'a n'a pas marché toujours des messages d'erreurs

[invite63e767fa]

Je pense qu'il y a de bonnes chances pour trouver une méthode d'optimisation fiable.
Mais l'un des paramètres (n) étant entier, c'est un peu spécial.
Etant donné que (n) n'est pas grand, je pense qu'il vaut mieux partir sur une méthode du genre suivant :
On fera successivement les optimisations en posant n=3, puis n=5, puis n=7, etc. (car n est impair et >1). Pour chaque calcul, on obtiendra une valeur de B. Avec cette valeur de B, on calculera l'écart quadratique moyen relatif aux (y). Le plus petit de ces écarts donnera la valeur de n à retenir et donc le B correspondant qui vaudra pour l'optimum.
De cette façon, le problème est très simplifié car pour chaque calcul, on n'optimise qu'un seul paramètre (B).
Comment faire ce calculm d'optimisation ? Dans l'immédiat, je manque de temps pour regarder de plus près cette question. Si les méthodes à votre disposition ne marchent pas bien, on pourra chercher un procédé mieux adapté à ce cas spécifique.

[invite63e767fa]

en tout cas j'ai essayé d'appliquer cette méthode d'optimisation avec:
xi = [10800 43200 86400 172800 604800];
yi = [0.6 0.7 1 1.2 1.4];
a0 = [0.1 15];

Ainsi que je l'ai déjà dit, dans l'immédiat je manque de temps pour étudier cette question.
Néanmoins en lisant votre message précédent, il y a quelque chose que je ne comprends pas. Je me serais attendu à ce que les données expérimentales soient les (ti , yi) puisque la fonction à optimiser est y(t). Mais vous donnez des xi ???

[invite164df21a]

Je me serais attendu à ce que les données expérimentales soient les (ti , yi) puisque la fonction à optimiser est y(t). Mais vous donnez des xi ???

en fait j'ai remplacé le t par x tout simplement dans l'expression de la fonction, c juste une question de notation

[invite63e767fa]

en fait j'ai remplacé le t par x tout simplement dans l'expression de la fonction, c juste une question de notation

OK. C'est clair. En fait, il y avait déjà un symbole x dans la formule initialement donnée (premier message du 08/05/2011 23h10) et ce x désignait une variable différente. Pour éviter la confusion, je pense qu'il vaut mieux conserver la notation t.

[invite63e767fa]

Bonjour,

avant d'étudier la question d'optimisation, il y a peut-âtre encore quelques points ambigus à clarifier.
Par exemple, considérons le cas n=3 (mais ce serait similaire avec n=5 ou n=... etc. )
Dans la formule donnant k il y a un terme élevé à la puissance 1/(n-1), donc à la puissance 1/2 pour cet exemple, c'est à dire racine carrée de 2. Au sens mathémathique, le résultat est positif. Mais au sens large, la racine peut être affectée du signe plus ou moins.
C'est donc la modélisation physique qui doit définir si c'est plus ou si c'est moins. La modélisation n'est pas complète si cela n'est pas clairement établi.
C'est très important car cela détermine le signe de k. Tel que c'est écrit dans le message initial, on pourrait croire que k est positif. Mais est-ce certain ?
La modélisation physique du problème établi-t-elle avec certitude et définitivement que k est positif ? J'aimerais en être sûr, plutôt que de perdre du temps à cause d'une formulation initiale qui pourrait être erronée.

[invite164df21a]

bonjour,

La modélisation physique du problème établi-t-elle avec certitude et définitivement que k est positif ?

oui c sur et certain K est positif
j'ai essayé de faire un code en matlab pour l'optimisation de n et B mais le terme en sinus hyperbolique est très grand donc je ne suis pas arrivée à le faire converger
en tout cas merci bien JJacquelin pour votre aide

[invite63e767fa]

oui c sur et certain K est positif

Puisque k est positif, voyons ce qu'il en résulte en repartant de l'énoncé initial du problème (message du 10/05/2011 13h35) :
z = -(k^(n-1)) est négatif
x = -((-k)^n)/k = = ((-k)^n)/(-k) = (-k)^(n-1)
donc x est positif puisque n est impair.
Sigma((z^i)/i!) est plus petit que Sigma((x^i)/i!) car la première est une série alternée et la seconde est non alternée.
La différence (D) des deux Sigma est négative.
y = 3,2 - 16*(L^2)*(k^3)*D
y = 3,2 + 16*(L^2)*(k^3)*(-D)
Puisque D est négatif, on ajoute à 3,2 un terme positif.
Donc y est plus grand que 3,2.
Alors, expliquez pourquoi vous avez des valeurs expérimentales de y comprises entre 0,6 et 1,4 ? (message du 11/05/2011 15h49 )
Pour moi, il n'y a qu'une explication : il y a une erreur quelque part dans la modélisation physique. Et de ce fait, il ne serait pas étonnant que vos tentatives d'optimisation échouent systématiquement.

[invite164df21a]

il y a une erreur quelque part dans la modélisation physique. Et de ce fait, il ne serait pas étonnant que vos tentatives d'optimisation échouent systématiquement.

oui c'est ce que je pense, j'essaierai donc de revenir sur la modélisation physique, de toutes façon merci infiniment pour votre temps et votre effort

[invite63e767fa]

merci infiniment pour votre temps et votre effort

De rien ! L'effort a été minimum. Il aurait vraiment commencé si on était arrivé à l'étape d'optimisation proprement dite.