Intégrale de (a²-x²)^w

[invite8346d5f6]

Bonjour,

Je recherche la primitive de (a²-x²)^w , ou a est une constante et w pas forcément un entier.

Et désolé de vous faire perdre votre temps pour ca mais je suis un petit peut en galère la :s .

Merci d'avance.
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[thomas5701]

Bonjour à toi,
Tout d'abord il serai bien de se ramener à une intégrale du type u^b
Je t'invite à faire le changement de variable suivant: u=x/a
a^(2-w)*(1-(x/a)²)^w=a^(2-w)*(1-u²)^w

Posons ensuite u=sin(v)
du=cos(v)dv
(1-u²)^wdu=(cosv)^(2w-1)dv

Peut être partir sur cette piste là. Pour la suite, passer à la partie réelle de l'exp(iv)^(2w-1), mais se heurte au problème w non forcément entier. Je réfléchie pour la suite.
Cordialemant, thomas5701.

P.S. Si mon raisonnement comporte une erreur, j'en suis désolé.

[thomas5701]

Pardon, l'idée de la partie réelle de l'exponentielle c'est nulle !

[invite06622527]

Si w est entier, on développe et on intègre, ce qui donne le résultat sous forme de polynome.
Si w n'est pas entier, l'intégrale ne s'exprime pas avec un nombre fini de fonctions élémentaires. Ce sera soit sous forme de série infinie, soit plus simplement grâce à une fonction spéciale : la fonction Beta incomplète dans le cas présent.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8346d5f6]

Merci beaucoup !

je crois avoir trouvé. Par contre j'ai utilisé la fonction Beta normale ( je crois ).