Projecteur orthogonal et élements caractéristiques (Centrale PSI 2011 Maths II)

[invite81055034]

Bonjour à tous !

Après avoir été assez démoralisé par l'épreuve de Centrale en Mathématiques II filière PSI, je fais une sorte de blocage sur la première question, même si je sens qu'elle est facile, elle commence à me hanter ! Si quelqu'un pouvait me débloquer, je lui serais infiniment reconnaissant. Mais sans plus attendre, voici l'énoncé

On se place dans E=R^n, espace euclidien muni du produit scalaire canonique. Et on considère aussi l'ensemble des matrices carrées de taille n muni du produit scalaire qui a toute matrice M et N de l'ensemble des matrices carrées de taille n associe le scalaire Trace(tM.N).

On note Z la matrice colonne de R^n :.

On pose J=Z*tZ, J appartient à l'ensemble des matrices carrées de taille n.

Et on pose :

On considère l'endomorphisme de R^n représenté par la matrice P. Montrer que cet endomorphisme est un projecteur orthogonal et déterminer ses élements caractéristiques.

J'ai déja réussi à démontrer qu'il s'agissait d'un projecteur en développant P^2. (Car J^2 = (1/n)*J )

Par contre, lorsqu'il s'agit de trouver le noyau de l'endomorphisme, j'ai du mal.
J'ai écrit la représentation matricielle de P. J'ai essayé de résoudre le système PX = 0 où X est un vecteur colonne de R^n, mais je trouve que la solution est réduite au singleton de l'élement nul de R^n. Peut on alors parler de projecteur ? Je suis un peu perdu ...

Merci beaucoup pour votre aide !

GwdTiger
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[invitec317278e]

Salut,

le vecteur Z ne fait-il pourtant pas partie du noyau ?

[invitec317278e]

lorsque l'on cherche un vecteur dont les coordonnées sont et qui appartient au noyau, on tombe sur les équations







donc finalement,
donc

[invitec317278e]

on peut montrer qu'il est orthogonal en prenant un vecteur x du noyau, un vecteur y de l'image, et disant qu'il existe h tel que Ph=y.
on calcule (x|y)=(x|Ph)=(Px|h) car P est symétrique et on en déduit que ça vaut 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

du coup Im(P) est l'orthogonal de Ker(P). Or Ker(P) est une droite.

et tu connais l'équation de l'hyperplan orthogonal à une droite n'est-ce pas ? il s'agit de la droite d'équation , autrement dit, l'ensemble des vecteurs de la forme

[invite81055034]

Waw, merci beaucoup !

La fatigue aidant, je métais trompé dans ma représentation matricielle et j'ai même pas pris soin de la vérifier ... C'est pour ça d'ailleurs que la résolution du système me menait à quelque chose d'incohérent !

En tout cas merci infiniment pour ta réponse très claire !

[invite81055034]

Bon, je continue un peu avec ce problème car je bloque depuis longtemps sur une autre question :

On m'a fait montrer que l'endomorphisme : ou M est une matrice réelle de taille n, est un projecteur orthogonal dans l'ensemble des matrices carrées de taille n.

On me fait ensuite poser , et on montre alors que :


Jusque là on est guidé comme il faut. On suppose ensuite que il existe une famille de vecteurs de R^p (U1,...,Un) et une matrice i,j dans [1,n] telle que .

On me demande lors de montrer que toutes les valeurs propres de sont réelles et négatives ou nulles.

Je pense que l'on peut montrer que Phi est une matrice symétrique mais faut t'il utiliser simplement la transposée ou la transconjuguée ?

Je sais que pour faire apparaître des propriétés sur les valeurs propres dans un contexte euclidien, il faut écrire le produit scalaire : ou X est un vecteur propre, mais je n'en tire rien ...

Merci de votre aide !

GwdTiger