Base et dimension de sous espaces vectoriels

[invitec9750284]

Hello World,

J'ai quelques difficultés pour comprendre les notions de base et de dimension d'un sous-espace vectoriel engendré par un ensemble de vecteurs.

Prenons le cas de .

Soit E le sous espace vectoriel engendré par les vecteurs .

On note, je crois, .


Comment faire pour trouver une base de E et sa dimension ???

D'après ce que j'ai compris, corrigez moi si je me trompe, il faut former une combinaison linéaire de ces 3 vecteurs, et montrer que les coefficients de cette combinaison linéaire sont nuls si et seulement si cette combinaison linéaire est nulle.

Cela donne :



ou :






ou, sous forme matricielle :



Ce système se réduit par la méthode de Gauss, au système suivant :



A partir de là je bloque...

Je ne vois pas du tout comment trouver la base de cet espace vectoriel.
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer svp ??
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[sylvainc2]

Tu continues en essayant de résoudre le système: pour z, tu peux pas prendre 0 car ca implique que y=x=0 aussi, alors prends disons z=1 alors y=-2 et x=3.
Donc 3(1,-1,2,0)-2(2,3,0,3)=-1(1,9,-6,6). Il y a 2 vecteurs libres, alors la dimension de E est 2, et une base est (1,-1,2,0) et (2,3,0,3).

[invitec9750284]

J'ai vraiment du mal avec l'algèbre linéaire...

Merci Sylvainc2, mais je n'arrive pas à suivre ton raisonnement. Je m'explique.

Le système matriciel conduit aux solutions :




avec z un réel quelconque.

Peux tu m'expliquer ce qui fait que l'on obtient deux vecteurs libres et donc une base avec ces deux vecteurs?

Pour la dimension, ça va, je comprends que c'est le nombre de vecteurs de la base.

[invite371ae0af]

avec le système que tu as trouvé tu le résout par pivot de gauss.
si tu trouves x=y=z=0 ta famille est libre et comme elle est génératrice à cause du vect c'est une base

[A voir en vidéo sur Futura]