Décomposition en éléments simples

[invite56b437b2]

comment décompose t'on en éléments simples g(t)=t^8+1/((t+1)^3*(t-2)*(t^2+1)^2) ?

Moi j'aurais écrit g(t)= a/t-2 + bt+c/(t^2+1)^2... et la suite je ne vois pas
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[Tiky]

La première étape est de déterminer la partie entière. Ici elle ne sera pas nulle puisque le dénominateur est du même degré que le numérateur. Tu fais la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. Ensuite il te reste à faire la décomposition en éléments simple du reste de cette division.

[invite56b437b2]

d'accord mais j'aimerais l'écrire juste sous la forme théorique.
Donc g(t)=E(t)+ a/t-2 + at+b/(t^2+1) + ct+d/(t^2+1)^2 + e1/t+1 + e2/(t+1)^2 + e3/(t+1)^3 ( la solution qu'on me donne)
avec E(t) différent de 0 mais je ne vois pas pourquoi cette réponse est juste. Pour e3 par exemple je ne comprend pas pourquoi il ne s'exprimerait pas de la forme ft^2+ht+i ?

[invite56b437b2]

Je sais pas si c'est clair ce que je viens de dire mais je ne comprend pas pourquoi le terme qui aurait (t+1)^3 comme dénominateur n'aurait pas juste un numérateur de degrès inférieur ( de degres2)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Est-ce que tu as lu la page Wikipédia ? Quand tu as un polynôme P irréductible dans , alors la décomposition en éléments simples dans de est avec des polynômes constants (donc des réels).

[invite56b437b2]

oui mais j'ai un peu de mal avec la formule générale alors j'essaye de chercher des exemples. En fait j'ai trouvé deux exemples qui me pause problème:
f(t)=3t/(t^2+t+1)(t-1)= E(t)+ at+b/t^2+t+1 + c/t-1
cette décompostion pour moi ne pose pas de problème (avec E(t)=0)
g(t)=3t^3/(t-2)^2*(t^2+1)=E(t)+at+b/t^2+1+ c/t-2 + d/(t-2)^2 (avec E(t)=0)
qui me pose un problèmepour le terme avec (t-2)^2