décomposition en éléments simples

[invite4799b071]

Bonjour,
je dois décomposer la fraction suivante:

1/(x(x²+2x+4))
je trouve:

A/x + (Bx+C)/(x²+2x+4)

A=1/4 mais je ne sais pas comment déterminer B et C.

Quelqu'un peut-il m'aider?

Merci
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[NicoEnac]

Bonjour,

Comment trouves-tu A sans trouver B et C ? Quelle méthode utilises-tu (ce qui veut dire entre un peu dans les détails de ton raisonnement et de tes calculs et on te dira où ça cloche) ?

[pat7111]

A=1/4

OK

je ne sais pas comment déterminer B et C.

Par exemple, multiplie tout par x et fais tendre x vers une limite bien choisie (par exemple une limite vers laquelle l'une de tes inconnues disparaitra)

[invite4799b071]

et bien pour trouver A, je multiplie des deux cotés par (x), ce qui fait que A est isolé, et puis je multiplie par 0. De là, je trouve que A=1/4.

Mais je trouve pas de methode pr B et C.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pat7111]

Mais je trouve pas de methode pr B et C.

Ce que j'ai indique donne B en fonction de A

[invite4799b071]

je comprends le principe mais je ne vois pas par quoi je pourrais faire tendre x pr eliminer une constante, et encore moins pour eliminer C. Parce-que du coup, j'ai (Bx+C)x et je ne peux pas faire tendre x vers 0 car tout se supprimerait... je ne vois pas. Pouvez-vous m'aider?
Merci

[NicoEnac]

Il y a aussi la solution (moins élégante je l'admets) de tout mettre au même dénominateur et par identification, on obtient 3 équations avec A, B et C pour inconnues. Mais je reconnais qu'il s'agit d'une méthode plus bourrine et moins élégante que celle suggérée par pat7111

[invite4799b071]

ah c'est génial!
Merci ca fonctionne très bien!

De plus, est-ce que vous sauriez vers quoi je pourrais faire tendre x? par rapport à l'autre méthode?

Encore merci.

[sylvainc2]

Multiplies A par (x^2+2x+4) et (Bx+C) par x pour mettre sous dénominateur commun.

Ensuite tu considères l'égalité des numérateurs des deux côtés du signe égal: 1=A(x^2+2x+4) + x(Bx+C).

Développe et regarde les coeff des mêmes termes. A gauche tu 0x^2, 0x et 1; à droite (A+B)x^2, (2A+C)x et 4A. Ca te donne un sytème d'équations avec les A,B et C:
A+B=0
2A+C=0
4A=1
et tu le résouds.

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PS: réponse déja donnée par NicoEnac

[invite4799b071]

oui merci. c'est ce que m'avait conseillé de faire NicoEnac et ca fonctionne très bien.

[invite4799b071]

De plus, j'ai posté un autre sujet à discussion par rapport à la décomposition des fractions!
Si quelqu'un pouvait m'y aider aussi... Ca serait vraiment gentil.

[pat7111]

je comprends le principe mais je ne vois pas par quoi je pourrais faire tendre x pr eliminer une constante, et encore moins pour eliminer C. Parce-que du coup, j'ai (Bx+C)x et je ne peux pas faire tendre x vers 0 car tout se supprimerait... je ne vois pas. Pouvez-vous m'aider?
Merci

On multiplie tout par x :
On fait tendre x vers l'infini :









Au final, avec un effort minime (il n'y a quasiment rien a ecrire), on a et

Pour conclure, il suffit de prendre un point particulier

[invite4799b071]

d'accord.
Merci bcp.