Endomorphisme nilpotent

[invite18c42f07]

Bonjour !

voilà je suis en math sup et on travaille en ce moment sur les applications linéaires, les matrices... tout ça quoi !

on a un exercice à faire mais je n'y arrive pas vraiment, c'est pourquoi j'aurais eu besoin d'un peu d'aide ^^

soit D l'endomorphisme de Rn[X] qui à P(x) associe P(x+1)-P(x)

la question est de vérifier que D est un endomorphisme nilpotent.

La seconde question est complètement indépendante de la première. Soit f de R2[X] dans R3[X] qui à P associe x²P' + (mx+n)P. Quelle est la matrice de f dans les bases canoniques ? après il faut trouver le rang de f, son image et son noyau mais déjà si je comprend ces deux questions ce sera déjà pas mal ^^ je connais le cours, mais disons que j'ai un peu de mal à me familiariser avec les matrices... donc j'espère pouvoir comprendre un peu mieux tout ça grâce à vous

merci d'avance !!
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[invite81055034]

Salut !

Pour montrer que ton endomorphisme est nilpotent, je te conseille de te donner sa représentation matricielle dans la base des monomes de Rn[X].

 Cliquez pour afficher

Le binôme de Newton te sera utile ^^

[invite18c42f07]

donc heu si je comprend... la base de Rn[X] c'est (1,x,x²,....x^n) ?

comment est ce qu'on remplit la matrice ? (désolé je suis un peu largué)

[inviteaf1870ed]

Pour la nilpotence de D, il n'est pas nécessaire de passer par les matrices : il suffit d'examiner attentivement le monome de plus haut de gré de D(P) et de le comparer à celui de P !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite18c42f07]

ha.. je vois, mais le degré de D(P) et le même que celui de P non ? enfin j'ai du mal à voir en quoi appliqué D un certain nombre de fois (disons k fois) à P le rendra nul..

[inviteaf1870ed]

Soit P=X², qu'est ce que D(P) ?

[invite18c42f07]

hum ben... (x+1)²-x²

=(x+1+x)(x+1-x) = 2x+1 haa d'accord !

visiblement d°D(P)<=d°P d'ailleurs on avait prouvé en cours que d°(P+Q)<=max(d°P,d°Q) désolé je ne m'en souvenais plus

donc si on applique D, n+1 fois on devrait obtenir un polynôme nul c'est bien ça ? enfin là c'est un sorte d'analyse mais quand il s'agira de faire la synthèse et de rédiger, y a-t-il une méthode plus appropriée ?

[inviteaf1870ed]

Il est facile de montrer que le degré de D(P) est inférieur d'une unité à celui de P. Donc d°D(P)<d°P. Pas <=.
De là, il est aisé de conclure que D est nilpotent : effectivement D^n+1 est nul.

[invite18c42f07]

d'accord je vois !

suffirait il de dire que comme on a P(X+1) et non pas par exemple P(2X+1) ou P(3X+1) alors le coefficient dominant de P(x+1) et de P(x) sont les mêmes et par conséquent il s'annule quand on fait D(P).

encore faut il le montrer, est ce que ça irait si on fait comme ça :

donc



de même




donc

=


avec la formule du binome de Newton on montre que les X^k s'annulent.

cette méthode conviendrait elle ?

[inviteaf1870ed]

Oui c'est cela. mais en fait tu n'as pas vraiment besoin de tout développer par la formule du binôme, car tu ne t'intéresses qu'au monome le plus élevé. Comme D est linéaire (tu l'as prouvé ?), il suffit de regarder les polynomes de la forme X^n. Calculer le monome le plus élevé de (X+1)^n-X^n n'est pas sorcier.

[invite18c42f07]

Bonjour
désolé pour la réponse en retard..
oui j'ai prouvé la linéarité de D, d'ailleurs j'ai calculé aussi le monôme le plus élevé de (X+1)^n-X^n, c'est encore ça le plus simple effectivement
merci beaucoup !!