Bonjour j'ai un exercice dont je ne vois pas comment répondre à certaines questions.
Soit f : R-->R définie par f(x)=x³+x-1
1) démonter que l'équation f(x)=0 n'à qu'une seule solution s telle que 5/8<s<3/4
Celle ci je l'ai résolu facilement en faisant un tableau de variation puis en disant que f(5/8)<0<f(3/4)
2) Soit phi : ]5/8;3/4[ --> R définie par phi(x) = 1/(1+x²)
a) Démontré que f(x) = 0 <=> phi(x)=x
j'ai résolu avec une équation.
b) Démontrer que pour tout x € ]5/8;3/4[ (|(phi'(x))|<0.78)
j'ai fait la dérivée et la dérivée seconde de phi:
phi'=-2x / (1+x²)²
phi''=4x⁴+2x²-2/(1+x²)⁴
on obtient que phi' est croissante sur ]5/8;3/4[ et que -0.6466<=phi'<= -0.6144
donc |phi'| < 0.78
Est-ce que c'est suffisant comme démonstration?
c)En utilisant le théorème des accroissements finis, déduire de la question précédente que, pour
tout x € ]5/8;3/4[ , y € ]5/8;3/4[ , |phi(x) - phi(y)|<= 0.78|x-y|
La d'après le théorème des accroissements fini |phi(x) - phi(y)|/|x-y|<= 0.78 d'ou la réponse
Est-ce bon?
d) Montrer que phi(]5/8;3/4[) C ]5/8;3/4[
vu que phi' est négative, phi est décroissant sur ]5/8;3/4[ on a phi(5/8)<phi(x)<phi(3/4) <==> 0.64<=phi<= 0.719
<==> 5/8<phi<3/4 donc phi(]5/8;3/4[) C ]5/8;3/4[
e) On définit la suite (un )n∈N par :
u0 =3/4
un+1 = phi (un )
i) Montrer que, pour tout n ∈ N, un € ]5/8;3/4[
Je l'ai démontré par récurrence
ii) Montrer que, pour tout n ∈ N,|un+1 − s|<= 0,78|un − s|
Je n'ai aucune idée comment faire
iii)En déduire que,pour tout n ∈ N, |un − s|<=(0.78)^n
Je suppose qu'il faut utiliser les propriété de suite géométrique mais je n'arrive pas à avoir ce résultat la
iv) Démontrer que la suite converge vers s
De même je ne vois pas la convergence
f) Donner une approximation de s à 10−6 près ; on donnera le nombre d'itérations nécessaires.
Je pense qu'en ayant répondu aux questions précédentes on doit facilement avoir celle-ci
Merci de vos réponses
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