Theorie des fonctions (intégrale de 1/(z-a)^n)

[Bartolomeo]

Bonjour,

Soit C la courbe représentée par le cercle autour du point a avec le rayon r.
pour a=0

Ce résultat se voit par le calcul.
Mais si je ne me trompe pas d´apres la théorie: On sait aussi que n^(-1) n´a pas de primitive sur , puisque pour z=0 la fonction n´est pas holomorphe sur (pol en 0) et donc elle ne s´annule pas sur une courbe fermée à l´intérieur d´un domaine.
Pour n=-2
Je sais qu´il existe une primitive de z^(-2). Mais admettons qu´il faille le prouver. Ici la théorie ne colle pas puisque la fonction n´est pas non plus holomorphe sur (pol en 0)
Bon d´accord, en faisant le calcule je trouve que l´intégrale le long du cercle est nulle. Mais comme la fonction z^(-2) n´est pas définie en 0, je ne peut pas parler de domaine étoilé. Donc je ne peux pas utiliser le théorème de Cauchy pour les domaines étoilés: Je ne peux pas prouver qu´une primitive existe. Où est l´erreur de raisonnement?


Merci de m´éclairer!
Cordialement
Bart
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[albanxiii]

Bonjour,

Ce résultat se voit par le calcul.

Où est l´erreur de raisonnement?

Comment avez-vous donc fait ce calcul ?

[Bartolomeo]

Merci de l´intérêt!
Voici les calculs:

[invite57a1e779]

Donc je ne peux pas utiliser le théorème de Cauchy pour les domaines étoilés : Je ne peux pas prouver qu'une primitive existe. Où est l'erreur de raisonnement ?

Il n'y a pas d'erreur de raisonnement, il y a seulement l'utilisation d'une méthode inadaptée au but à atteindre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bartolomeo]

Il n'y a pas d'erreur de raisonnement, il y a seulement l'utilisation d'une méthode inadaptée au but à atteindre.

C´est à dire? Quelle méthode inadaptée? le Théorème de Cauchy pour les étoilés?
N´y a t´il pas de possibilité pour montrer qu´une primitive existe sur un domaine ouvert (pas forcément étoilé) si l´intégrale sur une courbe continuement différentiable fermée est nulle?

[albanxiii]

Re,

Vous voyez bien qu'en appliquant la définition d'une intégrale sur un chemin complexe vous n'avez pas eu à calculer une primitive de .

Mon prof de maths avait traité cet exemple au début du cours de variable complexe en précisant bien : "on va calculer cette intégrale en prenant bien soin de ne surtout pas utlilser une primitive de !!!".

[Bartolomeo]

Re,

Vous voyez bien qu'en appliquant la définition d'une intégrale sur un chemin complexe vous n'avez pas eu à calculer une primitive de .

Mon prof de maths avait traité cet exemple au début du cours de variable complexe en précisant bien : "on va calculer cette intégrale en prenant bien soin de ne surtout pas utlilser une primitive de !!!".

Merci pour cette réponse! Mais ce n´était pas ma question! J´aimerai savoir pourquoi la primitive n´existe pas dans ce cas, puisque je ne peux pas utiliser le fait que l´intégrale sur la courbe fermée ne s´annule pas. Et je ne peux pas non plus dire que z^(-2) a une intégrale, parceque l´intégrale s´annule sur la courbe fermée.

[invite57a1e779]

Le seul théorème est une condition suffisante : si la fonction f admet une primitive sur l'ouvert U, alors l'intégrale de f sur tout chemin fermé contenu dans U est nulle.

Par contraposition, on obtient une condition nécessaire : si l'intégrale sur le chemin fermé est non nulle, alors f n'admet pas de primitive sur U ; c'est le cas de 1/z.

Mais le théorème réciproque est faux, et on ne peut rien conclure de la nullité de l'intégrale sur un chemin fermé.

C'est exactement comme l'annulation de la dérivée d'une fonction réelle en un extremum : si la fonction f est dérivable et présente un extremum local en a sur l'intervalle ouvert I, alors f'(a)=0.

Par contraposition : si f'(a) n'est pas nul, alors f ne présente pas d'extremum en a sur I.

Mais si f'(a)=0, on ne peut rien conclure quant à l'existence d'un extremum en a ; par exemple pour f définie sur ]-1,1[ par : f(x)=x³ et a=0.

[Bartolomeo]

Merci beaucoup! Cette facon de présenter la chose m´a beaucoup aider dans la compréhension. Le problême devient moins flou.
Il n´y a donc pas de moyen dans la théorie des fonctions pour prouver qu´une primitive existe sur un ouvert quelconque? Il faut donc d´abord intuitivement savoir qu´elle existe et la connaître pour prouver qu´elle est une primitive?