Compacité et continuité

[invite0d9b859e]

Bonjour,

Voici l'exercice:
Soit K une partie compacte d'un espace vectoriel normé E et f une application de E dans E, contractante sur K, i.e. vérifiant:

1. a. Montrer que f est continue sur K
b. Considérer la fonction g: x->||f(x)-x|| et montrer que f admet un point fixe a dans K, puis que ce point fixe est unique.

Ce que j'ai fait:
1. a. f est 1-lipschitzienne sur K puisque , donc continue sur K
b. C'est là que j'ai un problème.
Je sais cependant que g atteint ses bornes puisqu'elle est continue (par composée de fonctions continues) sur un compact K, mais je n'arrive pas à prouver que le minimum est 0, et encore moins qu'il n'est atteint qu'une fois.

Merci d'avance
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[invite57a1e779]

Si le minimum de g est atteint en x₀, quelle est la valeur de g en f(x₀) ?

[invite0d9b859e]

On a , mais je ne vois toujours pas???
J'aimerais bien dire mais je pense que c'est faux puisque la relation n'est vrai que pour (x,y) dans K, or on ne sait pas si est dans K.

[invite57a1e779]

on ne sait pas si est dans K.

C'est bien dommage...

Je considère l'espace vectoriel réel normé par la valeur absolue et l'application définie de dans par :



Il me semble que satisfait les hypothèses de ton énoncé sur tout compact , mais n'admet aucun point fixe...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Si f(x)=x et f(y)=y, que peut on dire de ||f(x)-f(y|| ?

[invite0d9b859e]

C'est vrai, mais pourtant c'est une annale d'examens!
Et si on considère :
Je suis pas sûr mais je dirai , ce qui est impossible, donc nécessairement , d'où est un point fixe
Pou prouver qu'il est unique, je n'ai pas encore réfléchi mais je pense le démontrer par l'absurde???

[invite0d9b859e]

Si f(x)=x et f(y)=y, que peut on dire de ||f(x)-f(y|| ?

Si f(x)=x et f(y)=y, on a ||f(x)-f(y)||=||x-y||, donc par contraposée, on en déduit que x=y, donc ce point fixe est unique. Enfin, je pense...


Super, merci beaucoup à tous les deux pour votre aide