Résolution numérique des équations non linéaires

[invite298957c6]

salut

c'est mon 1ére exercice dans ce chapitre
voila l'énoncé :
On veut résoudre l'équation x² = ln(1 + x).
1 / Montrer que la fonction f(x) = x² - ln(1+x) admet deux solutions : l'une évidente que l'on précisera et l'autre « s » que l'on désire approcher dans la suite de l'exercice.
pour le résoudre je travaille avec exp ??!!


2/ Localiser cette racine dans un intervalle de longueur 1/4.

3/ Ecrire la méthode de Newton relative à la fonction f. Donner un choix de x0 qui assure la convergence de cette méthode.
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[Tiky]

Dans la première question, on ne demande pas de résoudre l'équation, c'est-à-dire d'exprimer les zéros de cette fonction à partir de fonctions usuelles (logarithme, polynôme, ...) mais de prouver l'existence d'exactement deux zéros. L'une est totalement évidente. Tu peux étudier les variations de la fonction pour prouver l'existence de la seconde solution à l'aide du théorème de la bijection.

[invite298957c6]

salut
merci tiky

on a vue dans le cours ces méthodes :
méthode de dichotomie , méthode de la sécante , méthode de Newton et méthode d'approximation successives

[Tiky]

La première question n'a aucun rapport avec la résolution numérique. On te demande de prouver l'existence des solutions avant de les chercher numériquement à l'aide de la méthode Newton. En vérité, si tu parvenais à résoudre analytiquement l'équation, alors ton cours de résolution numérique n'aurait plus aucun intérêt.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite298957c6]

alors je cherche la dérivée de f (x)?
la dérivée de f(x)= ( 2x+2x²-1 )/ 1+x

[Tiky]

Oui, et maintenant tu fais ton étude de fonction. Trace le tableau de variation de f.

[invite298957c6]

f(0) =0
on pose f(s) =0

La première est 0, la deuxième notée s.

or je doit faire tout les études de f(x) ( dérivée et table de variances...)

[Tiky]

Cette étude vise précisément à prouver l'existence d'un s non-nul tel que f(s) = 0.



Avec et

Tu remarques que
Donc :
- sur ,
- sur ,
- sur ,
- sur ,

Tu montres ensuite que f ne s'annule pas sur .
Il s'annule une fois en 0 sur . Et enfin il s'annule une fois sur au point que tu appelles s.

[invite298957c6]

table de variance :

+inf ---->-1          : f ' +  
-1  -----> -1,36    :f ' - 
-1,36-----> 0,36   :f ' +   
0,36-----> +inf      :f ' +

[invite298957c6]

j'ai pas trouvé même résultat que toi ,


règle:

et

[invite298957c6]

sayé j'ai trouve comme toi

et

[Tiky]

j'ai pas trouvé même résultat que toi ,


règle:

et

J'ai juste oublié de copier un 2. Ta dérivée est la bonne .

Maintenant tu dois déterminer un intervalle de longueur 1/4 contenant s.

[invite298957c6]

comment on peu la localiser dans un intervalle 1/4 ?

avec la méthode dichotomie ?!!

[invite298957c6]

j'utilise la méthode de Newton ?!!

[Tiky]

Oui enfin là c'est très facile, tu y vas en tâtonnant. Tu sais qu'il est dans . En traçant la courbe sur un logiciel, tu peux voir que la solution est proche de . Alors tu testes différentes valeurs.

Par exemple convient.