compact dans un espace vectoriel

[invitef8bd6408]

Bonjour tout le monde.

J'aimerais démontrer que si est un vectoriel de dimension finie alors tout ensemble borné et fermé (pour la topologie induite par la topologie par cad celle qui rend l'addition et la multiplication continue) est compact. Pour des vectoriel ceci est très facile mais pour un K vectoriel qcq? j'avais entendu parler du fait que tout vectoriel de dimension n est isomorphe a mais tt les démonstrations que j'ai trouvé suppose que le champ est valué (et que la topologie sur K est celle engendrée par sa valeur absolue). Donc est-ce vrai pour n'importe quelle champ ou faut-il qu'il soit valué?

merci d'avance
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Quelle est la topologie sur le corps K ?
Qu'est-ce qu'un ensemble borné dans l'espace vectoriel E ?

[invitef8bd6408]

Moi je voulais prendre une topologie quelconque sur K... Un ensemble borné sur un K-vectoriel est un ensemble tel que pour tout voisinnage V de 0, il existe tel que contient cet ensemble

[invite57a1e779]

Pour la topologie usuelle, Q est un Q-espace vectoriel de dimension finie, et il existe des fermés bornés non compacts : l'ensemble des rationnels de l'intervalle [0,1] par exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef8bd6408]

ok mais est un champ valué (valeur absolue des réels restreinte au rationnelle) et le + et . est continue aussi... pourtant ds ce cas, ça devrait marcher... qu'est-ce qui m'échappe?

[invite57a1e779]

Un petit problème de complétude.

[invitef8bd6408]

ah, il faut que le champ soit complet aussi... en effet, c'est normal en y pensant. Merci. Il faut donc que le champs soit complet et valué pour que ça marche. Note que je ne vois tjs pas pourquoi il faut qu'il soit valué...

[Seirios]

Je te mets une justification, si ça t'intéresse toujours :

Soit E un espace vectoriel topologique séparé sur un corps topologique K, et supposons que les compacts de E soient les fermés bornés. En sachant que tout espace vectoriel topologique séparé est régulier (même uniformément régulier), on peut dire que si une partie A de E est bornée (dans le sens donné en #3), alors son adhérence est bornée. Donc l'identité admet une base fondamentale de voisinages fermés (régularité), qui sont en fait compact. Par conséquent, E est localement compacts. K étant homéomorphe à toute droite vectorielle de E, il est également localement compact. Il existe donc une mesure de Haar sur K (en tant que groupe additif localement compact), unique à une constante multiplicative près. On peut alors définir , avec X une partie de K telle que . On peut alors montrer que définit une valeur absolue sur K et que la topologie engendrée par celle-ci est identique à la topologie initiale sur K (pour les détails de ce point, tu peux regarder aux 4-5 de Basic Number Theory de André Weil).