Explication de la formule de Taylor

[iroll754]

Bonjour,
Voici mon problème: Je n'arrive pas à réellement comprendre les développements limités. J'ai cru comprendre qu'il s'agissait d'une approximation linéaire d'une fonction en un point (pour Taylor-Young). J'en ai déduis, peut-être à tort que cette notion de développement limités, se rapprochait de la forumule de la tangente à une courbe donné par Newton. J'ai fais ce rapprochement grâce à un doc. PDF trouvé au hasard (http://www.math.u-psud.fr/~niederma/FORMULESTAYLOR.pdf) qui expliquait un peu mieux que tous les cours qui balancent directement la formule sans vraiment l'expliquer.

donc


Jusque là, rien de compliqué. Mais après je ne comprends pas pourquoi on reformule cette approximation linéaire locale avec des dérivées seconde, troisième, etc... avec une erreur qui tend vers 0, et des divisions par des factoriels (??).

Merci beaucoup pour votre aide !!
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[369]

je suppose que tu veux une démo de la formule
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...A8me_de_Taylor

[maxwellien]

Bonjour, la formule de taylor c' est l' étude de l' application linéaire et plus présicément de abs(h) w(h) quand h tend vers 0.
Les dérivées succésives servent à rendre de plus en plus tangent la nouvelle fonction à celle d' origine

[iroll754]

Bonjour, la formule de taylor c' est l' étude de l' application linéaire et plus présicément de abs(h) w(h) quand h tend vers 0.
Les dérivées succésives servent à rendre de plus en plus tangent la nouvelle fonction à celle d' origine

C'est donc une approximation plus "fine" de la fonction en un point ? "Fine" dans le sens: meilleure que l'approximation ?

A quoi correspond w(h) dans ce que tu m'a dis ?
Merci beaucoup !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite74d6d3ec]

Salut,

Histoire d'extrapoler ce que tu a dit, quand tu utilises la méthode de Newton, tu approches ta fonction en un point par une droite, mais le plus souvent cette approximation n'est pas suffisante et on doit "pousser" le développement plus loin, développement qui est donné par la formule de Taylor. Cela dit, on approche plus la fonction par une droite mais une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.

[KerLannais]

Bonjour,

Je tiens à rajouter que la formule de Taylor donne la meilleure approximation locale de ta fonction par un polynôme au sens suivant: Pour un entier naturel donné (et étant donné une fonction qui vérifie les bonnes hypothèses pour que l'on puisse appliquer la formule de Taylor à l'ordre en ) il existe un unique polynôme de degré n tel que, pour tout autre polynôme de degré (distinct de ) il existe un intervalle ouvert contenant tel que pour tout

et il existe un tel qu'on ait l'inégalité stricte

Ce ploynôme est donné par l'expression

C'est également l'unique polynôme de degré qui coïncide avec en pour toute ses dérivées. Autrement dit





Ceci permet par ailleurs de retrouver facilement l'expression de
Enfin, il y a une démonstration de Taylor-Toung très simple si l'on suppose des hypothèses un peu plus fortes (il faut de classe ) et qui repose sur l'intégration des (qui est alors tout à fait rigoureuse). On sait que par hypothèse sur , est continue et

Si on intègre:



Si on intègre encore:

Je fais encore une intégration pour bien faire comprendre le principe, si

et ... après avoir intégré on tombe bien sur la formule de Taylor.