Espace vectoriel

[invitecbade190]

Bonsoir,

Je voudrai savoir pourquoi le sous espace vectoriel de défini par : est le sous espace engendré par les vecteur : et

Merci pour votre aide.
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[invite9daadf4c]

Bonjour,
tu appliques la définition de l'espace vectoriel:
- Tu prends la combinaion linéaire de u et v (stabilité par la loi interne):

Avec le résultat, on a x = 1, y = 0 et z = -1 qui vérifie ton équation (-1 + 0 - 1 = 0)

- Tu prends un coefficient de pour un des vecteurs (par exemple u) (stabilité par la loi externe:

Ce dernier vecteur vérifie également l'équation

Donc c'est un sous espace vectoriel.

[Seirios]

Bonjour,

Je voudrai savoir pourquoi le sous espace vectoriel de défini par : est le sous espace engendré par les vecteur : et

Déjà, tu peux dire que est un sous-espace vectoriel de de dimension 2 puisque c'est le noyau d'une forme linéaire. Donc trouver une base de ton espace revient à trouver deux vecteurs libres de cet espace. Tu as les deux vecteurs, il ne reste plus qu'à montrer qu'ils sont libres

[Seirios]

tu appliques la définition de l'espace vectoriel:
- Tu prends la combinaion linéaire de u et v (stabilité par la loi interne):

Avec le résultat, on a x = 1, y = 0 et z = -1 qui vérifie ton équation (-1 + 0 - 1 = 0)

- Tu prends un coefficient de pour un des vecteurs (par exemple u) (stabilité par la loi externe:

Ce dernier vecteur vérifie également l'équation

Donc c'est un sous espace vectoriel.

Tu n'as pas montré grand chose, seulement que ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9daadf4c]

Tu n'as pas montré grand chose, seulement que ...

Désolé, je n'avais pas vu qu'il fallait que ces vecteurs engendrent l'espace défini

[invitecbade190]

Bonjour,
Déjà, tu peux dire que est un sous-espace vectoriel de de dimension 2 puisque c'est le noyau d'une forme linéaire. Donc trouver une base de ton espace revient à trouver deux vecteurs libres de cet espace. Tu as les deux vecteurs, il ne reste plus qu'à montrer qu'ils sont libres

Merci à vous tous pour vos réponses.
A vrai dire, je cherche un moyen qui permet de trouver à partir d'une équation : qui définit un sous espace vectoriel, les deux vecteurs qui l'engendrent ...
Merci pour vos éclaircissements.

[invitecbade190]

Un peu d'aide svp.

[invite371ae0af]

tu es dans R^3
x+y+z=0 est un hyperplan de R^3 donc par définition il est de dimension 2. Cela signifie qu'il est engendré par 2 vecteurs
pour trouver ces 2 vecteurs, il suffit qu'ils vérifient l'équation et qu'ils soit linéairement indépendants

[invitecbade190]

Oui, mais il y'a une infinité de vecteurs qui engendrent cet hyperplan. mais, le problème, est que, ce n'est pas toujours évident de tomber sur deux vecteurs qui sont linéairement indépendants ... D'où , la nécessité, de trouver un moyen de calcul qui permet d'en trouver au moins deux linéairement indépendants ( en resolvant peut être un système d'équations ... ou quelques choses comme ça ) ... non ?

Merci pour votre aide.

[invite371ae0af]

ici c'est facile de trouver ces 2 vecteurs

[invitecbade190]

Et dans le cas general ?

[invite371ae0af]

bon si tu aimes te compliquer la vie on peut faire comme ca:
soit u=(x,y,z) dans F. F étant l'hyperplan
par définition de F tu as x=-y-z
donc u=(x,y,z)=(-y-z,y,z)=y(-1,1,0)+z(-1,0,1)=Vect{(-1,1,0),(-1,0,1)}
ces 2 vecteurs sont libres
donc une base est {(-1,1,0),(-1,0,1)}

[invitecbade190]

Merci mon grand pote