principe des tiroirs

[invite371ae0af]

bonjour,
j'aimerai savoir dans quel ca on utilise ce principe
en algèbre j'ai vu une application avec les ensembles
mais comment savoir qu'à un moment donné on doit utiliser le principe des tiroirs?

merci de votre aide
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[invitea6f35777]

Bonjour,

C'est et cela restera un principe de dénombrement mais rien n'empèche qu'un principe de dénombrement soit utile à la résolution d'un problème d'algèbre, d'analyse, de géométrie ... Les différentes branches des mathématiques ne sont pas cloisonnées et la question:
"Quand sait-on que l'on doit utiliser tel théorème ?"
n'a pas de réponse en général sinon les mathématiques seraient beaucoup plus triviales. Ce qu'il faut c'est bien comprendre le théorème d'une part et bien comprendre le problème que l'on doit étudier. Si c'est la cas la nécessité d'utiliser ou non le théorème pour la résolution du problème doit être évidente, sinon c'est qu'on a pas une bonne intuition du problème ou du théorème (ce qui peut arriver assez souvent). Mais le principe des tiroirs n'est pas le genre de principe que l'on peut appliquer comme ça pour voir si on a pas l'intuition qu'il va servir (contrairement à l'intégration par partie dans un calcul intégral ou à l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans un calcul d'inégalités). La raison c'est que les possibilités de définir des ensembles associés au problème sur lesquels appliquer le principe des tiroirs sont infinies. Donc ne te pose pas ce genre de question métaphysique, quand tu auras besoin de ce principe, soit ce sera indiqué dans l'exercice, soit tu auras l'intuition de l'utiliser en lisant le problème et ça te viendra naturellement.

Voici des exemples d'exercices qui utilisent le principe des tiroirs:

exo 1 ( arithmétique)

Soient des entiers. Prouver qu'il existe
non tous nuls tels que

soit divisible par

exo 2 (analyse)

On considère nombres réels deux à deux distincts. Prouver que, parmis ces nombres, il existe deux réels et tels que


exo 3 (géométrie)

Soit un triangle équilatéral. Soit l'ensemble des points du plan appartenants à l'un des côté du triangle. Peut on écrire comme une réunion d'ensembles disjoint et telle qu'il n'existe pas de triangle rectangle dont les sommets appartiennent au même sous-ensemble ?

[invitec3143530]

Une application importante de ce théorème est l'existence pour tout élément g d'un groupe (non forcément abélien ou cyclique) d'un entier d tel que g^d = 1 (c'est à dire que d est l'ordre de g).

[invite371ae0af]

merci pour vos réponses

en faites quand je regarde les exemples que vous donnez généralement on utilise le principe des tiroirs dans le cas d'existence

[A voir en vidéo sur Futura]