Principe des tiroirs

[invite0be9ddd5]

Bonjour
bon voila, je coince sur un DM de maths spé
voila l'intitulé:
on pose s1=1 ; s2=11 ; s3=111 ; ........ ; s8=11111111
1)a) demonter en appliquant le principe des tiroirs que parmis ces 8 entiers, il y en a au moins 2 qui ont le meme reste ds la division par 7
b) On note Sn et Sm ces 2 entiers, avec 1<n<m<8; demonter que Sn-Sm est divisible par 7
2) (c'est la ou ca coince....) Demontrer l'existence d'un entier naturel divisible par 7 dont l'ecriture decimale ne contient que des 0 ou des 1
3) GENERALISATION
demontrer que pour tout entier naturel n, il existe un entier naturel divisible par ndont l'ecriture decimale ne contient que des 0 ou des 1

Voila l'exercice complet
Si quelqu'un pourrai me mettre sur la voie pour les 2 dernieres question ce serait syma ********** pas de pub *********
merci d'avance

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[invite8ef897e4]

Bonjour,

pourquoi c'est en physique ?

Vous avez demontre en 1b) que Sn-Sm est divisible par 7
On vous demande de prouver en 2) qu'il existe un nombre divisible par 7 qui possede une certaine propriete
Avez-vous essaye de prouver que Sn-Sm de la question 1b) possede cette propriete ?

La generalisation ne devrait pas etre tres dure. Si vous cherchez a montrer l'existence d'un nombre ne s'ecrivant qu'avec des 1 et des 0 et divisible par N, il vous suffit de partir de la liste s1 ... s(N+1), et appliquer encore le principe des tiroirs pour montrer que deux Sn et Sm dans la liste ont le meme reste modulo N.

Bonne chance

[obi76]

Je déplace en maths.

Pour la modération,

[danyvio]

Pour le 1a) se référer simplement au nombre maximum de restes possibles d'une division par 7

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Bonjour,

b) On note Sn et Sm ces 2 entiers, avec 1<n<m<8; demonter que Sn-Sm est divisible par 7

Petite coquille il me semble car S_n - S_m est négatif. La question est sûrement de montrer que S_m - S_n est divisible par 7. Cela ne change rien pour cette question mais pour la suivante, oui ^^

2) Demontrer l'existence d'un entier naturel divisible par 7 dont l'ecriture decimale ne contient que des 0 ou des 1

S_m - S_n est divisible par 7. Maintenant considère 2 entiers S_m et S_n avec m>n. Disons m = 4 et n = 2. S₄ = 1111 et S₂ = 11. Tu vois bien que S₄ - S₂ = 1100 et que cela va se passer pareillement pour tous m et n tant que m>n. Donc S_m - S_n s'écrit uniquement avec des 1 et des 0 et est divisible par 7.

Pour la 3), je te laisse chercher, l'idée est la même.