Equation differentielle

[inviteea028771]

Bonjour, j'ai un petit problème avec la question ci dessous :

Soit l'equation differentielle
(E) y" + p(x)y' + q(x)y = 0

où p et q sont continues sur R

Soit y une solution non nulle de (E), prouver que les zéro de y sont isolés.

Dans l'idée c'est simple, si on a un zéro x0 de y qui n'est pas isolé , alors on a y'(x0) = y(x0) = 0 (car tout est suffisament régulier)

Mais comment on en deduit rigoureusement que y est la fonction nulle?
En disant que la fonction nulle verifie y'(x0) = y(x0) = 0 et qu'on a un isomorphisme d'EV entre l'ensemble des solutions et les couples (y(x0), y'(x0) )?

Merci d'avance
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[invite63e767fa]

Une façon de faire, mais il y a peut-être mieux.
y'' = -q(x)y -p(x)y'
Si on a un zéro x0 de y qui n'est pas isolé , alors on a y'(x0) = y(x0) = 0
il en résulte que y''(x0) = 0.
Ensuite, tout étant dérivable :
y''' = -q'(x)y -(q(x)+p'x))y' -p(x)y''
Donc y'''(x0) = 0.
Les dérivations successives donnent la dérivée nième (que l'on a pas besoin d'expliciter). On sait qu'elle sera la somme de termes dont chacun comporte le produit d'une dérivée d'ordre inférieur à n.
Donc, par récurrence toutes les dérivées sont nulles.
Conclusion ...

[inviteea028771]

Merci, ca me parrait plus raisonnable comme methode

[inviteaf1870ed]

Peut etre que je me trompe, mais le fait que toutes les dérivées sont nulles en un point n'implique pas que la fonciton est nulle : voir le cas de exp(-1/(x-x0)²) ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Ensuite, tout étant dérivable

Les fonctions p et q sont seulement supposées continues.
Il y a du théorème de Cauchy-Peano là-dessous.

[inviteea028771]

En effet, le fait que p et q ne soient pas C-infinies rend la chose plus délicate...

Donc je vais rester sur ma demonstration :

Soit x0 un zéro de y qui n'est pas isolé

Alors, comme y est continue (car y dérivable), il existe un intervalle [a,b] contenant x0 ou y est nulle. Ainsi, y' est nulle sur ]a,b[
Comme y' est continue (car y deux fois dérivable), y' est nulle sur [a,b]

On a donc y(x0)=y'(x0)=0

Après on applique le théorème de Cauchy-Lipschitz à l'équation



ie. Y'(t) = f(t,Y(t))

Comme f est une application linéaire par rapport a la seconde variable, f est localement lipschitzienne par rapport à la seconde variable, donc le théorème s'applique et on a existence et unicité d'une solution verifiant Y(0) = (0,0)

Reste plus qu'a remarquer que la fonction nulle verifie ces conditions initiales pour dire que y est nulle.


J'ai bon?