Salut à tous !
Je suis bloqué sur un exercice, j'ai seulement besoin d'une indication :
A une matrice d'ordre n à coefficients complexe etses valeures propres.
(1) Montrer qu'il existe P unitaire tel que P*AP est triangulaire supérieure.
Merci d'avance !
Bonjour,
on peut tenter une récurrence sur la dimension.
Peut être, mais je viens de trouver la solution après que je me suis bien cassé la tête avec.Envoyé par girdav
On prend une base formée de vecteurs propres et on utilise le procédé de Gram Schmidt pour obtenir une nouvelle base qui est orthonormée et la matrice de passage est triangulaire supérieure. Après on prend la matrice de passage de la base canonique à la base formé des v.propres.
Le produit des deux matrices de passage nous donne une matrice de passage qui est unitaire puisqu'elle transforme une base o.n en une autre base o.n.
Bien sur en considérant me produit scalaire standard !
Merci !
Attention, prendre une base de vecteurs propres supposerait que A est diagonalisable, ce qui n'est pas toujours le cas.
Gramm-Schmidt est cependant une assez bonne idée vu que celui-ci va transformer une base adaptée à un drapeau en une base orthonormale adaptée au même drapeau, ce qui donne bien le résultat attendu.
N'as-tu pas remarqué qu'on nous a donné n valeurs propres ?
Et on travail dans C ce qui implique que A est diagonalisable !
C'est une condition suffisante !
Hmm, tant qu'on ne te dit pas que les λi sont distincts 2 à 2, tu ne peux rien conclure sur la diagonalisabilité et même si les indices des λi sont différents, rien n'indique qu'ils ne peuvent être numériquement le même nombre (du moins c'est comme ça que je l’interprète).
De plus, la propriété restant vraie pour A quelconque, ça me parait étrange de ne traiter que le cas a diagonalisable.
Oui, j'ai pensé à ça mais comme ils ont donnée n valeurs propres cela veut dire qu'ils sont forcément distinctes 2 à 2 puisque la dimension est n, si non ils auraient donné r valeurs propres avec r <= à n
Ce qui est sûr c'est que l'exercice repose sur les valeurs propres données dans l'énoncé !
Et je ne crois pas que l'exercice serait faisable si les valeurs propres n'étaient pas 2 à 2 distinctes car toute la démonstration repose sur la matrice de passage !
Edit : N'oublions pas que si A n'est pas diagonalisable, elle est par contre trigonalisable ce qui est largement suffisent pour avoir P*AP triangulaire supérieure
Dernière modification par ichigo01 ; 23/05/2011 à 20h48.
