un petit mélange d'algèbre et de topologie

[art17]

bonjour a tous je bloque à la c) de l'exo suivant

Soit telle que la suite soit bornée. Pour

a) Montrer que (B_k) admet une valheur d'adhérence B.
b) Montrer que BA=B puis B²
c)Montrer que Ker(A-I_n)=Im(B),Im(A-In)=ker(B)

pour la a) je n'ai pas de problème on se place sur un compact puisque B est bornée la b) ça va aussi
mais je bloque sur la c) pour l'instant j'ai B(A-I_n)=0 et (A-I_n)B=0 (grace à la question b)
d'où je déduis que Im(A-I_n) ker B et Im(B)Ker(A-I_n)
merci de me lire et de m'aider
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[invite9617f995]

Bonjour,

Je pense qu'on peut montrer quelque chose d'encore un peu plus fort que Ker(A-I_n) inclus dans Im(B).

Soit x appartenant à Ker(A-I_n). Que vaut A^j(x) pour tout j et donc que vaut B_k(x) ? On obtient donc une expression de B(x) qui permet de conclure.

Par double inclusion, on conclut sur l'égalité Im(B)=Ker(A-I_n).
L'inclusion Im(A-I_n) inclus dans Ker(B) et le théorème du rang permet de démontrer l'autre égalité.

Silk

[art17]

ah oui bien sur merci