[Contre-exemple] Commutativité de matrices

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je cherche deux matrices réelles A et B telles que le commutateur [A,B] commute avec A et B, sans pour autant être nul.

Y a-t-il une manière intelligente de chercher de telles matrices ?

Merci d'avance,
Seirios
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[invite0fa82544]

Bonjour à tous,

Je cherche deux matrices réelles A et B telles que le commutateur [A,B] commute avec A et B, sans pour autant être nul.

Y a-t-il une manière intelligente de chercher de telles matrices ?

Merci d'avance,
Seirios

C'est le cas des matrices des opérateurs qui relèvent de la formule de Glauber. Exemples : les couples , que l'on rencontre en Mécanique quantique.
C'est évidemment vrai pour tous les couples dont le commutateur est proportionnel à l'identité.

[Seirios]

Exemples : les couples , que l'on rencontre en Mécanique quantique.

Que représente p et q ici ? Et correspond bien à la transconjuguée ?

[invite0fa82544]

Que représente p et q ici ? Et correspond bien à la _{transconjuguée} ?

Ce sont les observables position et impulsion. et sont les opérateurs de création et d'annihilation de l'oscillateur harmonique

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Je prends note, merci.

[invite4ef352d8]

"C'est évidemment vrai pour tous les couples dont le commutateur est proportionnel à l'identité." >>> les commutateur ont une trace nulle... ce ne sont donc pas (sauf si c'est la matrice nul) des multiple de l'identité... enfin pas en caractéristique 0 en tout cas...

[invite0fa82544]

"C'est évidemment vrai pour tous les couples dont le commutateur est proportionnel à l'identité." >>> les commutateur ont une trace nulle... ce ne sont donc pas (sauf si c'est la matrice nul) des multiple de l'identité... enfin pas en caractéristique 0 en tout cas...

Si l'espace est de dimension finie, tout commutateur est de trace nulle. Dans le cas contraire, tout est possible.

Pour et , la dimension de l'espace est . Sur la base des nombres d'occupation, a une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les entiers naturels de la forme ; a aussi une matrice diagonale dont les éléments valent : la différence donne bien l'identité, dont la trace est infinie.