Bonjour sil vous plait sa fait 2 semaines que j'arrive pas a avancer dans cet exercice pourtant mon cours je le connais tres bien.
Jeter Y un coups d'oeil s'il vous plait et donner moi des indications pour la résolution de mon exercice.. Merci
soit (G,+) un groupe abélien.
(on rappelle que m.a=a+a+a+....+a pour n € N-{0} et a € G)
On suppose qu'il existe un entier naturel non nul n tel que n.a=0 pour tout a € G. Soit p le plus petit entier non nul ayant cette propriété. On suppose que l'on peut écrire p=r.s, avec P.G.C.D(r,s) = 1.
On pose Gr={x € G/r.x=0}, Gs={ x € G/ s.x=0}
1)Prouver que Gr et Gs sont des sous groupes de G.
2) Montrer que l'intersection de Gr et Gs = {0}. (On pourra utiliser le théorème de Bezout).
3) Vérifier que pour tout x € G on a r.x €Gs.
4)Montrer que G = Gr + Gs ou Gr + Gs ={x € G/ il existe a € Gr, il existe b € Gs tel que x = a+b}
Merci pour votre Compréhension
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