résolution de X''(t)+k*X'(t)²=0

[invite43fd7e20]

Bonjour ,
Je vous demande de l'aide a propos de la resolution de cette equation differentielle : X''(t)+k*X'(t)²=0
En fait il s'agit d'un systeme différentiel :
X''(t)+k*X'(t)²=0
Y''(t)+k*Y'(t)²=G
avec [x(0)=0, y(0)=0]

dont j'aimerais tracer la fonction F : Y=F(X) sur maxima (le seul logiciel a ma disposition , enfin j'ai aussi une version d’évaluation de maple..)

Tout d'abord j'aimerais savoir si ce système peut se résoudre a la main en dérivant ou multipliant par un facteur (j'avoue ne rien avoir trouvé comme ça)
Et si quelqu'un connaissant ce logiciel (scilab ou maxima) peut m'aider a écrire la resolution ?
Voila ce que j'ai ecrit (qui ne marche pas) :

load("dynamics");
eq1:'diff(x,t,2)+5*'diff(x,t)^ 2=0;
eq2:'diff(y,t,2)+5*'diff(y,t)^ 2=10;
ode2([eq1,eq2],[x,y],t);

il me retourne "false" ça a le merite d'etre clair !

Merci d'avance pour vos remarques.
-----

[Armen92]

Cette équation s'integre immédiatement, non ?

[inviteaf48d29f]

Bonjour,

Comme le terme x(t) non dérivé n’apparaît pas dans l'équation vous pouvez écrire z=x' et il vous suffit de résoudre z'+kz²=0.
z'=-kz²
Et ça on peut trouver une solution de manière évidente. Un petit indice si vous ne trouvez pas, essayez de prendre z de la forme z(t)=At^B

[Tiky]

Tu poses .
L'équation différentielle devient : avec

Tu remarques que la fonction nulle est solution sur de l'équation différentielle et est sur .

Supposons maintenant qu'une solution s'annule en alors d'après le théorème de Cauchy-Schwartz, cette solution est une restriction de la solution maximale nulle.

On exclut dans la suite la solution nulle. On ne traite pas non plus le cas k = 0 qui est trivial.
On sait donc que Z ne s'annule pas.

donc



On en déduit finalement que

Et

Donc si et k positif, la solution maximale est définie sur . Si et k positif, la solution maximale est définie sur .

On inverse les deux cas pour k négatif.

Ensuite il suffit d'intégrer, de ne pas oublier la constante d'intégration et que la fonction Z est de signe constant ce qui permettra de retirer les valeurs absolues.

Au passage tu remarques qu'il y a deux conditions initiales, une sur Y et l'autre sur Y' pour déterminer une unique solution.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite43fd7e20]

Bonsoir , merci pour vos réponses je reconnais que l’intégration de l’équation homogène ne pose aucune difficulté.
Par ailleurs Tiky je vous remercie de la discussion que vous faites sur le signe de k et de t qui sont positifs j'ai oublié de le signaler, on est en physique
Par contre je rencontre un probleme pour trouver une solution particuliere de l'equation generale Y''(t)+k*Y'(t)²=G.
En fait j'ai tenté de faire varier la constante de la solution de l’équation homogène (en Y) mais la constante vérifie alors une équation différentielle non linéaire de la meme forme que celle donnée..


Merci d'avance pour vos remarques.

[Tiky]

Bonsoir,

Tu poses toujours .
L'équation est donc . Je l'appelle (1).

On a déjà traité le cas G = 0. On ne s'intéresse pas au cas trivial k = 0.
Posons .

Or si Z est solution de l'équation (1) sur , alors vérifie sur :


Or

Donc vérifie l'équation différentielle suivante sur :
. Je l'appelle (2).

Supposons que pour t, , alors on a :


Je pose . Note que est positif par hypothèse.

L'équation devient :


On reconnait la dérivée d'une fonction tangente hyperbolique.
Donc

Je pose . Il est bien définie car par hypothèse.

On a donc
Alors

Cette solution est définie sur R. Je pense d'ailleurs que l'on peut montrer que les seules solutions bornées de l'équation sont de cette forme.

[Tiky]

Bonjour,

J'ai fait une petite bourde dans le message précédent. La quatrième ligne en partant du bas du message :

Il manquait les valeurs absolues.

J'ai oublié de préciser que cette résolution n'était valable que pour k > 0 et G > 0.
On pourrait s'attendre à ce que ça marche pour k < 0 et G < 0, mais alors on a trouvé une solution de
Si on veut une solution pour k < 0 et G < 0, il suffit de considérer l'opposé de l'expression.

Autre précision, même si la formule est correcte, la condition initiale n'est pas pratique. En effet on a

On voudrait que la condition initiale soit en .

Il suffit de modifier l'expression de la solution de cette manière :

Avec

Enfin il est très facile de trouver une primitive de tangente hyperbolique

[invite43fd7e20]

Merci beaucoup Tiky ,
Je vais réviser les équations différentielles.

[invite43fd7e20]

Bonjour,
J'ai ajouté les deux solutions (de l'eq. homogène et particuliere de l'eq. generale) pour obtenir l'ensemble des solutions.
J'ai juste une derniere question concernant le systeme :

X''(t)+k*X'(t)²=0 [ X(0) = 0 , X'(0)=v0x ]
Y''(t)+k*Y'(t)²=G [ Y(0) = 0 , Y'(0)=v0y ]

puis je résoudre indépendamment chaque équation, ce qui me donnera une équation de courbe paramétrée, pour ensuite tracer f: X->Y(X) ?
Est-ce la bonne methode ou j'oublie quelque chose ??

Merci beaucoup

[Tiky]

Attention, tes équations différentielles ne sont pas linéaires. Il n'y a pas a priori de superposition des solutions.

Dans la première équation, je t'ai donné toutes les solutions.

Dans la seconde équation, je t'ai donné uniquement les solutions ayant une condition initiale dans l'intervalle . Tu peux avec un peu d'astuce résoudre les autres cas.

Par exemple si , alors
Idem pour

Il reste à résoudre le cas où . Le théorème de Cauchy-Lipschitz t'assure alors que . Je te laisse chercher alors les solutions.

On obtient alors toutes les solutions de l'équation si G et k sont de même signes. Il reste à traiter le cas où elles ne sont pas de même signe.

En revanche comme je te l'ai dit au début, la somme d'une solution de la première équation et de la seconde équation n'est pas une solution de la seconde équation.

En effet, si est solution de
Et est solution de , alors :
mais