orthogonale d'un espace

[invite9b650739]

bonjour à tous,
je voudrais calculer avec
,
et

j'ai pensé à poser donc
et de calculer le produit scalaire , mais
j'arrive pas a terminer,

Merci de me donner quelques indications....
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[art17]

salut
je vais peut être dire une bêtise mais pour parler d'orthogonalité il ne faut pas avoir un produit scalaire et donc une norme euclidienne ce qui ne semble pas être ton cas ici.

[Tiky]

Bonsoir,

La norme euclidienne est la norme issue du produit scalaire euclidien. Maintenant je suis du même avis que art17, pourrais-tu préciser le produit scalaire ou hermitien utilisé ?

Précise aussi ce qu'est . Est-ce ?

[invite9b650739]

bonsoir à tous,

je vous ai donné l'exercice comme je l'ai trouvé dans ma série d'exercices,
mais je crois qu'on peut trouver l'expression du produit scalaire à partir de la norme, puisque j'ai vérifié qu'elle vérifie l'identité du parallélogramme,quel est votre avis ????
Tiky : pour la norme 1 c'est exactement ce que vous avez cité

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Oui absolument. Avez-vous calculer ce produit scalaire ? http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8...%C3%A9logramme

[invite9b650739]

euh non, je ne l'ai pas calculé, je me suis dit que peut être ce n'est pas la peine, parce qu'on aura une expression avec des "i" qui est très compliquée, mais vous trouvez que c'est nécessaire pour trouver la solution...?

[Tiky]

Si vous cherchez un produit scalaire et non un produit hermitien, il n'y a aucune raison que des apparaissent. Êtes-vous sûr que cette norme vérifie l'identité du parallélogramme ?

[Tiky]

J'ai vérifié. C'est bien une norme issue d'un produit scalaire. Comment trouvez-vous des i dans votre calcul ?

[invite9b650739]

euh oui en réfléchissant, j'ai fait une erreur dans la démonstration, j'ai pris la norme sans le carrée,
donc maintenant je ne suis pas sure s'il elle vérifie ou pas,
dans le cas contraire, on ne peut pas résoudre cet exercice..???

[Tiky]

Aie, je pensais que vous l'aviez démontré. Je m'en suis assuré sur deux exemples où ça marchait bien mais c'est peut-être faux.

Dans le cas contraire, l'exercice n'a aucun sens. Comment parler d'orthogonal sans produit scalaire :/

Il faut donc s'assurer qu'il s'agit bien d'une norme issue d'un produit scalaire. Si ce n'était pas le cas, alors l'énoncé serait erroné ou incomplet.

[invite9b650739]

J'ai vérifié. C'est bien une norme issue d'un produit scalaire. Comment trouvez-vous des i dans votre calcul ?

j'ai pas vu ce message, donc vous avez trouvé qu'elle vérifie????, et pour les "i", j'ai pas fait les calculs mais je crois que puiqu'on est dans l'expression contient des "i"

[invite9b650739]

Aie, je pensais que vous l'aviez démontré. Je m'en suis assuré sur deux exemples où ça marchait bien mais c'est peut-être faux.

Dans le cas contraire, l'exercice n'a aucun sens. Comment parler d'orthogonal sans produit scalaire :/

Il faut donc s'assurer qu'il s'agit bien d'une norme issue d'un produit scalaire. Si ce n'était pas le cas, alors l'énoncé serait erroné ou incomplet.

ahh je vois, mais je crois pas qu'elle vérifie la relation, mais je vais voir encore...

[Tiky]

Le calcul bête promet d'être difficile. Certaines choses se simplifient...
On peut essayer ceci. Sachant que l'ensemble des fonctions en escalier sur est dense dans , on peut le montrer pour deux fonctions en escalier f et g puis utiliser la continuité de l'application . On considère une subdivision adaptée à f et g et on fait le calcul.

[invite9b650739]

ah d'accord je vais essayer, merci beaucoup pour votre indication ,
donc après il faut utiliser l'expression du produit scalaire pour terminer l'exercice...????

[Tiky]

Oui je pense que c'est nécessaire d'avoir l'expression du produit scalaire pour déterminer l'orthogonal de F.

[invite9b650739]

ok, mais ça reste un peu compliqué, je vais travailler encore et voir ce que ça donne , vous n'avez pas d'autres indications concernant l'orthogonal
merci encore pour votre aide...

[Tiky]

Ce n'est pas un produit scalaire mais un produit hermitien que tu cherches. Je viens de comprendre ce que signifier ton . Je pensais que c'était une faute de frappe. En fait tu voulais dire .

Seulement comme tu l'as dit, le produit hermitien va être affreux. Donc oui il faut peut-être envisager de ne pas utiliser l'expression du produit hermitien.

Concernant la méthode avec la densité, j'ai écrit une grosse bêtise. Les fonctions en escalier ne sont pas continues... En revanche les fonctions en escaliers sont denses dans l'ensemble des fonctions mesurables. Je rédigerai quelque chose demain.

[invite9b650739]

euh, oui c'est pour cela que je disais qu'il y avait des complications dans le produit scalaire, et je vous remercie pour vos réponses,
et OK pour la rédaction de demain, merci encore...
PS: comment vous avez écrit le "C" des nombres complexes ?
Bonne nuit...

[Tiky]

Rebonjour,

Tout d'abord pour écrire l'ensemble des nombres complexe avec : \mathbb{C}

Je considère l'espace vectoriel des fonctions continues par morceaux de à valeur dans .
On remarque que l'espace vectoriel des fonctions en escalier est un sous-espace vectoriel de .

Dans l'espace vectoriel normé (abrégé e.v.n) , est une partie dense de . En effet toute fonction continue par morceaux est limite uniforme d'une suite de fonction en escalier.
Il suffit de remarquer qu'une fonction continue par morceaux est la somme d'une fonction continue et d'une fonction en escalier.

On considère la semi-norme sur : . Montrons que est dense dans .

Soit une suite de fonction en escalier convergent uniformément vers sur . C'est-à-dire convergent vers dans

Alors tend vers 0.

Or

La suite tend vers dans . Donc est dense dans

Montrons que est une application continue pour la norme . Soit une suite de fonctions de convergent vers pour la norme . C'est-à-dire . Alors

[invite9b650739]

bonjour;
je viens de lire votre réponse, et elle est très bien expliquée,
Merci beaucoup pour votre aide,
très bonne fin de journée....