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Equation fonctionnelle avec intégrales



  1. #1
    FAN FAN

    Equation fonctionnelle avec intégrales


    ------

    Bonjour,
    Voici une question dont j'aimerais bien avoir une réponse:

    On se donne deux fonctions intégrables de R -> R, f1 et f2, pas forcément dérivables ni même continues, mais intégrables.
    Déterminer les fonctions g satisfaisant à l'équation:
    S[a,b] f1 dx = S[a,b] g f2 dx quels que soient a et b dans R
    (S : signe d'intégration)

    Il me semble que les fonctions g solution sont égales presque partout et le problème semble bien déterminé.
    Comment en déterminer une ?

    Merci pour réponse.

    -----

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  4. #2
    RoBeRTo-BeNDeR

    Re : Equation fonctionnelle avec intégrales

    Bonjour, je pense que ce n'est pas possible tout le temps ou alors il manque des conditions, une qui me semble juste que f2 ne s'annule au plus qu'en des points séparés, et non sur des segments. Si oui alors on peu prendre g(x)=f1(x)/f2(x) où f2 ne s'annule pas et quelconque où elle s'annule.

    RoBeRTo

  5. #3
    FAN FAN

    Re : Equation fonctionnelle avec intégrales

    Citation Envoyé par RoBeRTo-BeNDeR Voir le message
    Bonjour, je pense que ce n'est pas possible tout le temps ou alors il manque des conditions, une qui me semble juste que f2 ne s'annule au plus qu'en des points séparés, et non sur des segments. Si oui alors on peu prendre g(x)=f1(x)/f2(x) où f2 ne s'annule pas et quelconque où elle s'annule.

    RoBeRTo
    Merci de ta réponse. Je pense qu'elle est juste. L'ensemble des points où f2 s'annule doit être au plus de cardinal fini, peut-être de cardinal dénombrable (je ne suis pas sûr que dénombrable soit correct: une fonction infinie sur un ensemble infini dénombrable est-elle toujours Lebesgue-intégrable ? je pose la question).

  6. #4
    Tiky

    Re : Equation fonctionnelle avec intégrales

    Un ensemble dénombrable de R pour la mesure de Lebesgue est toujours de mesure nulle.

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  8. #5
    Garf

    Re : Equation fonctionnelle avec intégrales

    Une condition nécessaire et suffisante pour que cette équation ait une solution est qu'il n'existe pas de partie mesurable de sur laquelle s'annule, mais pas . La solution, si elle existe, est unique en un certain sens (en tant que fonction de ).

    En particulier, ce n'est pas grave si s'annule sur un intervalle, si s'annule aussi sur cet intervalle.

    Sinon, en général (en fait, dès qu'on travaille avec une mesure fixée), une fonction mesurable peut faire ce qu'elle veut sur un ensemble de mesure nulle (par exemple un ensemble dénombrable, pour la mesure de Lebesgue). Elle peut être égale à l'infini sans que cela cause le moindre problème ; la mesure ne le "voit" pas.
    Dernière modification par Médiat ; 10/06/2011 à 05h50. Motif: Latex

  9. #6
    FAN FAN

    Re : Equation fonctionnelle avec intégrales

    Citation Envoyé par Tiky Voir le message
    Un ensemble dénombrable de R pour la mesure de Lebesgue est toujours de mesure nulle.
    Exact, mais cela répond-il à la question posée qui est celle-ci:
    Une fonction infinie sur un ensemble dénombrable est-elle Lebesgue-intégrable ?

    Certe, par exemple, la fonction 1Q est Lebesgue-intégrable et son intégrale (mesure de Q) vaut 0. Mais 1Q n'est infini en aucun point.

    En d'autres termes, une fonction infinie seulement en un ensemble de points de mesure nulle est-elle Lebesgue-intégrable. Je ne crois pas...

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  11. #7
    Tiky

    Re : Equation fonctionnelle avec intégrales

    Pour ma part je considère que les fonctions à valeur dans R ne peut pas valoir l'infini... Tu dis dans ton premier post qu'elles sont à valeurs réelles. Mais en dehors de ça, je ne vois pas pourquoi si tu admets pour le cas fini que ça ne pose pas problème alors pourquoi cela te perturbe pour le cas dénombrable ?

  12. #8
    Tiky

    Re : Equation fonctionnelle avec intégrales

    D'ailleurs la mesure de Lebesgue est définie sur et non sur . Tu dois pouvoir toutefois prolonger la mesure de Lebesgue mais ça nécessite une justification tout ça.

  13. #9
    Garf

    Re : Equation fonctionnelle avec intégrales

    Il y a beaucoup de situations où l'on travaille avec des fonctions qui sont infinies, voire même non définies, sur un ensemble de mesure nulle (en vrac : des temps de retour de marche aléatoires*, des tailles de cluster en percolation**, des billards***...). Techniquement, c'est une erreur : on ne travaille pas exactement avec les mêmes espaces fonctionnels. En pratique, ces problèmes peuvent être contournés trivialement (par exemple, en mettant la valeur de la fonction à là où elle pose problème), et presque personne ne perd du temps et de la clarté d'exposition en s'amusant avec des distinctions sans aucun effet****.

    En bref : à mesure fixée, on se moque royalement de ce qui peut arriver à une fonction sur un ensemble de mesure nulle. La situation est totalement différente si on étudie des espaces de mesures (donc si l'on s'autorise à changer de mesure), où on travaillera plutôt avec des espaces de fonctions mesurables bornées, continues bornées, lipschitziennes bornées, etc.

    Au passage, tu fais erreur : je ne parle pas de prolonger l'espace sur lequel est définie la mesure de Lebesgue, mais celui dans lequel prennent leur valeur des fonctions. La théorie de l'intégration pour des fonctions à valeur dans est la même que pour celles à valeurs dans , il me semble.


    * Infini si la marche aléatoire ne revient pas dans l'ensemble choisi, ce qui a une probabilité nulle d'arriver pour la marche aléatoire simple sur , par exemple.

    ** Idem.

    *** La trajectoire réfléchie d'une boule ponctuelle n'est typiquement pas définie si elle tape sur un coin, ce qui a une probabilité nulle d'arriver.

    **** La distinction entre fonction et classe d'équivalence de fonctions est à ma connaissance de peu d'importance en probabilités, mais peut s'avérer plus problématique en analyse. L'étendue exacte desdites classes d'équivalence, en revanche...
    Dernière modification par Garf ; 10/06/2011 à 01h47.

  14. #10
    FAN FAN

    Re : Equation fonctionnelle avec intégrales

    Merci pour les réponses.

    Une fonction non définie presque partout peut ne pas être intégrable.
    Exemple x -> 1/X2 non intégrable sur tout intervalle incluant le singleton {0} de mesure nulle.

    la fonction suivante:
    x -> 1/(x-Ent(x))2
    Cette fonction, bien que non définie sur un ensemble de mesure nulle (les entiers) n'est pas intégrable sur tout intervalle incluant un entier.

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