Equation fonctionnelle

[invitebaa3c59c]

On se propose de démontrer le théorème suivant :

Si f est une fonction dérivable, distincte de la fonction nulle, alors les propositions (1) et (2) sont équivalentes :

(1) pour tous réels x et y
f(x+y) = f(x)f(y)
<=> (2) il existe un réel k tel que pour tout réel x
f'(x) = kf(x) et f(o) = 1

Calculer g'(y) de deux manières différentes

Ce que j'ai fais, j'obtiens ceci :
1. g'(y) = f'(x+y)
2. g'(y) = f'(y)f(x)

En déduire g'(0) puis conclure

g'(0) = f'(0)f(x) = 0f(x) = 0

Ça me parait bizarre, voire certainement faux, mais je n'arrive pas à trouver...


Merci d'avance de votre aide !
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[NicoEnac]

Bonjour,

Qu'est ce que g ? Dans la question "Calculer g'(y) de deux manières différentes".
Il nous manque des données.

[invitebaa3c59c]

Soit x un réel fixé quelconque, et soit g lafonction définie par :
g : y |--> f(x+y)=f(x)f(y)

Voila, merci

[NicoEnac]

OK alors je suis d'accord avec tes résultats pour g'(y).

Pour g'(0) j'ai plus de doutes. D'où te vient que f'(0) = 0 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebaa3c59c]

C'est là que je me suis un peu perdu.
Je sais pas comment dériver f(0), donc j'ai mis ça, mais tout en sachant que ça n'a aucun sens...