Démonstration

[invite4948a167]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour une démonstration.

Sujet du problème: Il y a 2 villes A et B, de part et d'autres d'un fleuve, chacune à une distance quelconque des berges du fleuve. Ces deux villes ne sont pas en face. On veut construire un pont par-dessus le fleuve (un pont est toujours perpendiculaire par rapport à la rivière), et des routes pour relier la ville A au pont et l'autre côté du pont à la ville B. Où faut-il placer le pont pour que la distance additionnée des deux portions de route soit la plus petite possible ?

Merci beaucoup à celui qui pourrait me donner une démonstration de résolution, car j'ai une intuition (qu'il faut tracer le segment {AB} puis les 2 perpendiculaires des intersections du segment et des berges du pont et construire le pont au milieu des deux perpendiculaires). J'ai conjecturé cette hypothèse et je n'ai pas réussi à démontrer que c'était faux, par contre pour la démontrer ... !!
Bonne journée
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[invite88ef51f0]

Salut,
Personnellement, j'introduirais x la position du pont, je calculerais la longueur des 2 routes en fonction de x et je dériverais pour trouver la valeur de x telle que la longueur totale soit minimale.

[invite4948a167]

Ok. Mais x la position du pont c'est par rapport à quoi ?
merci

[invite88ef51f0]

Par rapport à ce que tu veux. Le choix de l'origine n'a pas d'importance tant que tu restes cohérent.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea84d96f1]

Bonsoir,
Je dessine une route quelconque AMNB et j'analyse :

Je considère le point B' translaté de B d'une largeur du fleuve vers le fleuve… B' est unique.
MNBB' est un parallélogramme.

Longueur de la route = AM+MN+NB = AM+MB'+B'B
B'B ayant une taille fixe, la ligne brisée AM+MB' a une taille minimale lorsqu'elle … n'est pas brisée. La position idéale de M doit être M₀ sur la droite AB'

[invite4948a167]

T'ES UN GÉNIE !!
Merci

[danyvio]

Il faut considérer le cas (peu probable (*), mais ici on est en raisonnement mathématique !) où la distance des villes à la berge est inférieure à la largeur de la rivière.
(*) Quoique non, vers le Mississipi !

[invite4948a167]

Mais ça marche toujours, parce que ce n'est pas grave si le point B' se trouve dans la rivière. !!