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Démonstration



  1. #1
    thestrokes95

    Démonstration


    ------

    Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour une démonstration.

    Sujet du problème: Il y a 2 villes A et B, de part et d'autres d'un fleuve, chacune à une distance quelconque des berges du fleuve. Ces deux villes ne sont pas en face. On veut construire un pont par-dessus le fleuve (un pont est toujours perpendiculaire par rapport à la rivière), et des routes pour relier la ville A au pont et l'autre côté du pont à la ville B. Où faut-il placer le pont pour que la distance additionnée des deux portions de route soit la plus petite possible ?

    Merci beaucoup à celui qui pourrait me donner une démonstration de résolution, car j'ai une intuition (qu'il faut tracer le segment {AB} puis les 2 perpendiculaires des intersections du segment et des berges du pont et construire le pont au milieu des deux perpendiculaires). J'ai conjecturé cette hypothèse et je n'ai pas réussi à démontrer que c'était faux, par contre pour la démontrer ... !!
    Bonne journée

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Coincoin

    Re : Démonstration

    Salut,
    Personnellement, j'introduirais x la position du pont, je calculerais la longueur des 2 routes en fonction de x et je dériverais pour trouver la valeur de x telle que la longueur totale soit minimale.
    Encore une victoire de Canard !

  4. #3
    thestrokes95

    Re : Démonstration

    Ok. Mais x la position du pont c'est par rapport à quoi ?
    merci

  5. #4
    Coincoin

    Re : Démonstration

    Par rapport à ce que tu veux. Le choix de l'origine n'a pas d'importance tant que tu restes cohérent.
    Encore une victoire de Canard !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    tuan

    Re : Démonstration

    Bonsoir,
    Je dessine une route quelconque AMNB et j'analyse :

    Je considère le point B' translaté de B d'une largeur du fleuve vers le fleuve… B' est unique.
    MNBB' est un parallélogramme.

    Longueur de la route = AM+MN+NB = AM+MB'+B'B
    B'B ayant une taille fixe, la ligne brisée AM+MB' a une taille minimale lorsqu'elle … n'est pas brisée. La position idéale de M doit être M0 sur la droite AB'
    Images attachées Images attachées  

  8. #6
    thestrokes95

    Re : Démonstration

    T'ES UN GÉNIE !!
    Merci

  9. Publicité
  10. #7
    danyvio

    Re : Démonstration

    Il faut considérer le cas (peu probable (*), mais ici on est en raisonnement mathématique !) où la distance des villes à la berge est inférieure à la largeur de la rivière.
    (*) Quoique non, vers le Mississipi !
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  11. #8
    thestrokes95

    Re : Démonstration

    Mais ça marche toujours, parce que ce n'est pas grave si le point B' se trouve dans la rivière. !!

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