J'ai sans doute répondu un peu vite, si hors contexte, le sens de ne peut-être que consistant, dans ce contexte, votre interprétation "on ne connaît pas de théorie Y strictement incluse dans NF telle que NF soit co-consistante à Y" est sans doute la bonne.Envoyé par Médiat
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'aimerais revenir sur cette citation :
Dans l'article de Fraenkel donné plus haut, on trouve également cette réticence devant le théorème de Zermelo. Pourquoi est-il si contraire à la pensée commune ?
If your method does not solve the problem, change the problem.
Bonjour à tous
Cher Médiat, vous nous aviez promis (je prends peut-être mon désir pour la réalité, j'en conviens) de nous éclairer sur l'erreur souvent commise au sujet de la compréhension de l'axiome des parties d'un ensemble. Vous vous doutez que, malgré mes efforts, je n'ai pas réussi à découvrir cette erreur.
Et depuis je ne dors plus
Indice : pour être partie, il faut être ensemble.Cher Médiat, vous nous aviez promis (je prends peut-être mon désir pour la réalité, j'en conviens
Et depuis je ne dors plus
Bonjour cher karlp,
Le problème vient de ce que la phrase :
donne deux informations différentes :Pour tout ensemble E, il existe un ensemble P tel que tout ensemble A est un élément de P si et seulement s’il est une partie de E.
1) "Tous les éléments de P sont des parties de E", et dans cette phrase le "tous" n'est pas ambigu, puisqu'il désigne clairement les éléments de P.
2) "Toutes les parties de E sont des éléments de P", et là le problème n'est plus le même : que veut dire "toutes" dans cette phrase ?
Pour beaucoup de lecteurs il s'agit de "tout ce que l'on peut "fabriquer/concevoir/imaginer" avec les éléments de P", c'est à dire une notion "naïve" de "toutes les parties" ; cette interprétation est dramatiquement fausse (on connaît les défauts de la naïveté dans la théorie des ensembles), il faut comprendre la phrase en question comme :
"Tous les ensembles qui sont des parties de E sont des éléments de P" (où "tous les ensembles" peut être compris comme "tous les objets du modèle".)
Avec cette lecture, le paradoxe de Skolem perd son aspect paradoxal : il suffit que les ensembles aient peu de parties (au sens naïf) qui soient effectivement des ensembles, pour que l'on puisse "fabriquer" un modèle très petit, voire dénombrable (donc on a un modèle dénombrable qui contient IR
Amicalement,
PS. je vous avais écrit en privé hier soir pour vous donner à peu près cette réponse, et une panne électrique a effacé ce que j'avais écrit.
[EDIT] Ma réponse n'est qu'une version délayée de celle de Amanuensis.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci infiniment ! (à vous Médiat pour votre explication et à vous Amanuensis pour votre suggestion qui m'a permis de vérifier ma compréhension)
Je savais qu'effectivement une partie devait satisfaire aux conditions d'un ensemble et je savais pourtant qu'une notion naïve d'ensemble menait aux paradoxe que nous connaissons.
Pourtant je n'en étais pas venu cette déduction !
(voilà encore une fois une belle illustration de la leçon de rigueur que nous offre ce champ de la connaissance)
C'est bien la première fois que je commence à saisir un peu la signification du "paradoxe" de Skolem (ce n'était pourtant pas faute d'avoir essayé).
Bonsoir,
Il me semble que l axiome du choix possède la spécificité suivante ( qu' il partage d'ailleurs avec l hypothèse du continu): dans la théorie classique des ensembles (Zermelo-Fraenkel) , il a été démontré la consistance relative de l axiome du choix et son indépendance! (Gödel puis Cohen)
Donc le fait de prouver un résultat sans l 'axiome du choix le rend moins sensible aux axiomatiques niant cet axiome!
Cela dit l'évolution récente de l hypothèse du continu rend plus judicieux le choix d 'accepter l axiome du choix!!
Car il permet (à priori) de construire plus d objets (comme les ultrafiltres par exemples ), de même qu ' en acceptant une conjecture plus forte (travaux de Woodin) on prouve l existence d ensembles de cardinalité comprise entre le dénombrable et le continu.
D'autre part sans vouloir entrer dans les mathématiques intuitionnistes il est parfois intéressant de chercher des preuves
constructives pour l existence de certains objets mathématiques.
Bonjour,
Ce qui n'a rien de spécifique, puisque c'est vrai pour tous les axiomes dans toutes les théories !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
A Mediat
Bonjour, j approuve bien sûr votre propos mais permettez moi de le tempérer très légèrement:
l indépendance,complète de préférence! des axiomes est certes souhaitée voire recommandée mais n est ni acquise,ni garantie et cela dépend justement des axiomes et des théories!
Ce travail a été fait en ce qui concerne l axiome du choix et l 'hypothèse du continu, ce qui fait précisément leur spécificité!
par contre j 'ignore si ce travail a pu être réalisé pour les autres axiomes de la théorie des ensembles?Je pense par exemple à l axiome de l'infini! et à l'axiome de fondation!
Une autre particularité de l axiome du choix! tout comme celui de l hypothèse du continu! est qu'ils se situent en dehors du système de Zermelo-Fraenkel! à l inverse de tous les autres axiomes!
De la même façon que la commutativité est indépendante de la théorie des groupes.
Pour l'axiome de l'infini la réponse est définitivement oui, il existe même un modèle de ZFC - infini.
Pour l'axiome de fondation, je n'ai pas les textes sous la main, mais dans la mesure ou il existe une théorie avec axiome de non-fondation qui n'est à l'évidence pas compatible avec l'axiome de fondation, je dirais que oui, ces démonstrations existent.
Dans la mesure où vous dites que seuls les axiomes de ZF font partie des axiomes de ZF, on ne peut pas vous donner tort, mais je ne vois pas ce que cela montre !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
à Médiat
Je vous remercie pour tous vos éclaircissements!
Si j ai bien compris, il y a de toute façon une subjectivité irréductible à la question de la spécificité d'un axiome!
C'est exactement l'idée que je défend dans ce fil ; et j'ajoute que cette subjectivité n'est pas condamnable en soi, il faut juste en être conscient.
Cordialement.
Je suis Charlie.
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De la discussion jaillit la lumière!!
Encore merci pour cet éclaircissement!
Cordialement.
Il y a une part de subjectivité, certes, mais il y a quelque chose d'objectif, que Média en tant que logicien pur et dur ne veut admettre depuis le début : c'est l'histoire des maths ! Car oui, l'axiome du choix est particulier (comme certains autres axiomes) dans l'histoire des mathématiques (cf le document de Fraenkel cité dans la discussion).
Et par ailleurs, je trouve cet axiome très surprenant : tellement intuitif à " l'odeur inoffensive", et pourtant aux conséquences des plus inattendues et parfois assez contre-intuitives...
Et oui, je ne l'admets pas parce que l'histoire des mathématique n'est pas les mathématiques !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je trouve que c'est une séparation artificielle entre "mathématiques" (axiome, théorème, preuve) et "activités mathématiques" (recherche, histoire, enseignement, applications réelles...) car les "mathématiques" n'existeraient pas sans ces "activités mathématiques", et réciproquement.
Euh, non, finalement, rien, votre post est sa propre critique, qui confirme la conclusion du message http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3632318 tout en prétendant le contredire.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je ne prétends aucunement contredire le message en question, mais juste le nuancer : ce n'est pas parce qu'on répond à quelqu'un qu'on veut le contredire !
En revanche, depuis le début, je prétends que votre positionnement ne permet de répondre que partiellement à la question du message initial "Particularité de l'axiome du choix" (genre "ce n'est qu'un axiome comme tous les autres") alors que cet axiome fait partie des plus discutés du XXe siècle, par des mathématiciens qui ont fait des maths...
Etes-vous de mauvaise foi, ou bien ne comprenez-vous pas ce que vous lisez, heureusement d'autres y arrivent :
http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3595726
http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3632318
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Rassurez-vous, je suis juste un peu moins intelligent que vous... Idem pour la mauvaise foi.
http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3595726 :
"déranger la philosophie de quelques uns" est une expression clairement sectaire et inexacte (à l'époque), mais passons.Bonjour,
C'est exactement l'idée que je défends depuis mon premier message, mais en l'ayant, sans doute, exprimé moins clairement
Et je reprécise que je n'ai émis aucun jugement de valeur sur le fait d'être dérangé ou non par cet axiome et/ou ses conséquences.
Contrairement à ce que "défend Médiat depuis son premier message", dire que l'AC n'a rien de spécial, c'est simplement nier son histoire (et également ses conséquences mathématiques diversement variées et inattendues, ce qui est, à mon avis, rare pour un simple axiome).
Mais du point de vue mathématique, un axiome est un axiome et ne reste qu'un axiome, pas de doute !
http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3632318 :
Banalité : oui, disons bien que la subjectivité (ou la sensibilité) n'est pas condamnable... puisque personne n'y échappe pas.
Dernière modification par leon1789 ; 26/08/2011 à 12h38.
non, j'exagère.
Euh non, rien.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
oui, c'est mieux ainsi.
Dans votre référence, je cite
ce qui apporte une réponse (parmi d'autres).(page 26)
The Axiom of Choice takes a special place among these axioms because it is, unlike
the other ones, clearly not constructive. As in the case of Euclid’s Fifth Postulate a
lot of work went into attempts to derive the Axiom of Choice from the others as well
into attempts at disproving it
Mais comme le dit Médiat, << ce ne sont pas des considérations mathématiques >> http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3592786 ...
Bref
Euh, non rien.
Je suis Charlie.
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