Diagonalisation de matrices et polynôme de degré trois

[invite33b2ffa1]

Bonjour,

Je suis entrain d'étudier la diagonalisation de matrices et, en faisant un exercice, je suis tombé sur un polynôme de degré trois dont je dois trouver les racines.
Le problème, c'est que je n'ai jamais fait ça auparavant...

Je vous donne l'équation : -x^3 + 9x^2 - 27x + 27

Je suppose que la solution réside dans une factorisation. Or, comme je n'ai jamais dû faire cela, je n'ai aucune idée de la façon de faire...

Serait-il possible de me donner un exemple en m'expliquant ce qu'il faut faire / comment on le fait ?

Merci d'avance !
-----

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

A la base, il suffit de remplacer par quelques valeurs simples (pour le calcul) pour x : 0, 1, 2, 3 et -1, -2 et -3.
On constate que pour 3 cela marche donc on factorise par (x-3) et on recommence...

Mais sinon, il y a aussi la possibilité de remarquer que l'expression peut aussi s'écrire
-X³ + 3x3X²) - 3²x3X + 3³

Et on reconnaît un cube parfait.

Cordialement,
Duke.

[invite33b2ffa1]

Merci pour la réponse (très rapide d'ailleurs !)

Par contre, je ne la comprend pas bien...

Je ne vois pas à quoi ça sert de remplacer x par 0,1,etc.

Et je ne sais pas non plus comment trouver les racines d'un cube parfait :s

Merci de ton aide en tout cas !

[Duke Alchemist]

Re-

Merci pour la réponse (très rapide d'ailleurs !)

Par contre, je ne la comprend pas bien...

Je ne vois pas à quoi ça sert de remplacer x par 0,1,etc.

C'est la méthode de la racine évidente... Cela ne te dit rien ?
En fait, je sous-entendais de résoudre (pour pouvoir factoriser) l'équation -x³ + 9x² - 27x + 27 = 0

Et je ne sais pas non plus comment trouver les racines d'un cube parfait :s

Merci de ton aide en tout cas !

Je te propose de développer les expressions suivantes afin de te familiariser avec celles-ci :
(x±a)³
(x±a)(x±b)²
et au pire (x±a)(x±b)(x±c) mais pour cette dernière version racine évidente en premier lieu.
Tu peux aussi jeter un œil à ce pdf

Cordialement,
Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite33b2ffa1]

Merci, ce pdf est parfait !