Nombres complexes et argument

[invite33b2ffa1]

Bonjour,

J'ai une petite question sur la méthode de calcul des arguments des nombres complexes.

La question étant de trouver la racine cubique de 1 - i, je décide d'utiliser la formule de Moivre pour la résoudre.

Je commence donc par calculer le le module de 1 - i = sqrt(1² - i²) = sqrt(2).

Ensuite, je veux trouver l'argument. Je sais que pour trouver sa valeur absolue, je dois faire arcos(1/sqrt(2) ) et pour son signe, arcsin(-1/sqrt(2) ).
Et c'est là que je cale ! Sachant que je ne peux pas avoir de calculatrice lors de l'examen, comment trouver arcos(1/sqrt(2) ) ?

Merci d'avance pour votre aide !
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[invite14e03d2a]

Salut,

Dire LA racine cubique d'un nombre complexe est une erreur. Une nombre complexe (non nul) a 3 racines complexes distinctes. Donc on calcule UNE racine cubique ou LES racines cubiques d'un nombre complexe.


Dans le cas présent, tu peux utiliser le fait que 1/sqrt(2)=sqrt(2)/2.

Sinon, tu peux aussi représenter le nombre complexe dans le plan et le résultat saute aux yeux.

[invite371ae0af]

pour calculer la racines cubique de 1-i, le mieux est de poser avec a étant le module et t l'argument

par identification tu arrive à et t= pi/12 + (2kpi)/3 avec 0<=k<3

pour trouver les racines cubiques ils ne restent plus qu'à faire varier le k en prenant k=0,1,2

[invite33b2ffa1]

Je ne savais pas que 1/sqrt(2) valait sqrt(2)/2 !

Ca arrange tout !

Merci à vous deux pour vos réponse rapides et claires !

[A voir en vidéo sur Futura]