Bonjour à tous,
J'aimerais savoir : pourquoi est-il si important de savoir si l'on utilise l'axiome du choix dans une démonstration ?
Parce qu'il est souvent précisé dans les démonstrations : "on utilise l'axiome du choix". De même, certains cherchent des démonstrations sans utiliser cet axiome, mais pourquoi ?
Donc pour résumer : qu'est-ce qui rend l'axiome du choix si particulier ?
Merci d'avance,
Seirios
If your method does not solve the problem, change the problem.
Bonjour,
L'axiome du choix n'est pas "accepté" par tous les mathématiciens(1), en particulier des mathématiciens platoniciens, c'est à dire que pour eux un théorème démontré acec AC n'est pas vraiment démontré.
D'un point de vue formaliste, choisir de travailler avec ou sans axiome du choix n'est pas une question de philosophie, mais c'est toujours intéressant de savoir quels sont les axiomes vraiment nécessaires à une démonstration, celle-ci devenant alors plus générale.
La même question se pose pour l'hypothèse du continu.
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Envoyé par Jerry Bona
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je ne vois pas très bien le lien entre la vision platonicienne des mathématiques et l'axiome du choix.L'axiome du choix n'est pas "accepté" par tous les mathématiciens(1), en particulier des mathématiciens platoniciens, c'est à dire que pour eux un théorème démontré acec AC n'est pas vraiment démontré.
Cela dit, je n'ai jamais vu personne décortiquer les axiomes de ZF pour connaître ceux qu'il a utilisés dans sa démonstrationD'un point de vue formaliste, choisir de travailler avec ou sans axiome du choix n'est pas une question de philosophie, mais c'est toujours intéressant de savoir quels sont les axiomes vraiment nécessaires à une démonstration, celle-ci devenant alors plus générale.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Pour un platonicien, les objets mathématiques existent réellement, et le travail du mathématicien est de "découvrir" les axiomes et théorèmes qui régissent ces objets, c'est à dire que AC est "vrai" ou "faux" d'où l'intérêt, pour ceux d'entre eux qui pensent que AC est "faux", de ne prendre en compte que les démonstrations qui ne l'utilisent pas.
C'est pourtant exactement ce que fait un mathématicien qui précise avec ou sans AC, avec ou sans HC, avec ou sans AF.Cela dit, je n'ai jamais vu personne décortiquer les axiomes de ZF pour connaître ceux qu'il a utilisés dans sa démonstration
Mais cette question ne se pose pas que pour ZF : une démonstration dans la théorie des groupes qui n'utilisent pas l'existence d'un inverse, démontre un théorème valide pour les semi-groupes : c'est plus général.
Il serait d'ailleurs intéressant, pour tous théorèmes, de savoir quels sont les axiomes réellement nécessaires à leur démonstration.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,Il serait d'ailleurs intéressant, pour tous théorèmes, de savoir quels sont les axiomes réellement nécessaires à leur démonstration.
j'espère pas me tromper si je comprends le réellement d'un point de vue formaliste comme ceci : c'est intéressant de savoir quel est le plus petit ensemble d'axiomes nécessaire à la démonstration d'un théorème.
Bonjour,
A condition de comprendre "plus petit" au sens de l'inclusion (et non du nombre d'axiomes), qui est un ordre partiel. Et même comme cela, ce n'est pas très facile à définir : par exemple, le plus petit ensemble d'axiome qui permet de démontrer la conjecture de Golbach contient un seul axiome
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
C'est un axiome qui permet de justifier des résultats qui apparaissent contre-nature (paradoxe de Tarski par exemple).
Et de démontrer des résultats très naturels pour ne pas dire nécessaires comme "Tout ensemble a un cardinal".
Je suis Charlie.
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Justement, ce résultat est-il si naturel ? (compte tenu des cardinaux assez particuliers auxquels il fait allusion...)
Certes, l'axiome du choix permet de justifier des théorèmes très forts, comme celui sur les cardinaux, ou encore "tout anneau (non nul) possède un idéal maximal."(propre).
C'est un axiome très important pour les matheux car il permet des tas de constructions et de résultats, indéniablement. Mais l'axiome du choix permet-il d'obtenir des choses "concrètes" dans la "vie réelle" (physique, ...) ? Je ne pense pas.
A quels cardinaux faites-vous allusion ? D'ailleurs le problème ne vient pas des cardinaux eux-mêmes qui n'existeraient pas sans AC, mais de la non existence de bijection sur certains ensembles.
Etes-vous sur, par exemple, que sans AC, tous les sous-ensembles de IR ont un cardinal ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ou que tout espace vectoriel admet une base;
Important pour les mathématiciens est un argument qui me satisfait pleinement, que les physiciens, les plombiers-zingueurs et les avocats n'en aient pas l'usage, ne m'intéresse absolument pas (on pourrait d'ailleurs dire la même chsoe à propos de toute la (et mêmes les) théories des ensembles et très certainement d'autres théories).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Exactement, je n'aurais pas dit mieux.
Sans AC, je pense que l'existence du cardinal d'un sous-ensemble dépend de la manière dont ce sous-ensemble est construit. Par exemple, les ensembles non-mesurables paraissent pour le moins "suspects".
Absolument... et bien d'autres résultats encore. ok ok. On parle ici de base non-dénombrable que personne n'a jamais vue ou construite explicitement.
Si certains mathématiciens n'acceptent pas l'axiome, c'est aussi dans un soucis d'applications aux autres sciences (physique, informatique, etc.), voire aux maths elles-mêmes. Si cela ne vous intéresse pas, cela vous regarde.
Je voulais répondre à "qu'est-ce qui rend l'axiome du choix si particulier ?"
car, à mes yeux, votre argumentation (<< D'un point de vue formaliste ... >>) essayant de justifier que certains mathématiciens n'acceptent pas l'axiome du choix est peu convaincante. D'ailleurs, la réponse de Seirios à votre premier message confirme cette impression.
Dernière modification par leon1789 ; 12/06/2011 à 20h42.
...A mes yeux, votre argumentation (<< D'un point de vue formaliste ... >>) essayant de justifier que certains mathématiciens n'acceptent pas l'axiome du choix est peu convaincante. D'ailleurs, la réponse de Seirios à votre premier message confirme cette impression.
En effet, vos réponses le ramène à un état de simple axiome, comparable à tous les autres, et qu'il est bon de savoir quelle axiomatique on utilise... Normal, pour un logicien.
Mais le problème est justement là : ce n'est pas un axiome comme les autres. Pourquoi ?
Avez-vous un argument mathématique pour justifier cette affirmation ?
Qu'il soit moins intuitif que d'autres pour des gens non accoutumés à la théorie des ensembles, c'est possible, mais ce n'est pas un argument recevable, cf. le paradoxe de Skolem, pour un exemple de chose banale ne nécessitant pas AC et pourtant non perçue comme intuitive (sinon il ne serait pas baptisé "paradoxe").
Si le fait de ne pas être intuitif (toujours pour des gens non accoutumés à la théorie des ensembles), alors il faudrait l'axiome des parties dans les axiomes "pas comme les autres" (sans compter la difficulté sémantique à définir une telle notion).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
C'est bien l'intérêt de l'axiome du choix de pouvoir affirmer l'existence d'objets non constructibles (et c'est ce qui fait fuir certains).
Je suis Charlie.
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Comment sait-on d'ailleurs qu'ils sont non constructibles, à part le fait que personne ne soit parvenue à en exhiber ?
Parce que s'ils l'étaient, on n'aurait pas à utiliser l'axiome du choix pour prouver qu'ils existent : il suffirait de les construire.
A titre personnel, j'ai tendance à préférer ne pas utiliser l'axiome du choix. Effectivement, je trouve les objets ainsi "créés" (typiquement, des ensembles non-mesurables dans, ou certaines formes linéaires sur
De plus, dans la plupart des situations pratiques en analyse, l'axiome du choix dénombrable suffit à obtenir pratiquement tous les "bons" résultats, sans avoir les "paradoxes" qui peuvent découler de l'axiome du choix. Je vois mal l'intérêt d'admettre l'axiome du choix, dans cette situation. Une possible exception est la théorie des groupes moyennables, ce que je suis en train de voir.
Enfin, je suis un peu comme Médiat, je vois midi à ma porte. Les conséquences de l'axiome du choix en théorie des ensembles me sont assez indifférentes (du moins pour les sujets que j'étudie), et comme d'habitude je peux faire sans, eh bien...
* Je me souviens de plusieurs conséquences assez perturbantes dans des articles de la rubrique "Logique et calcul" de Pour la science, mais je n'ai pas pensé à approfondir, malheureusement.
Une "preuve mathématique" du fait que l'axiome du choix est particulier ? Cette question n'a pas de sens, nous sommes d'accord.
Mettre le C à droite dans "ZFC", c'est pour les gens non accoutumés ?
Ce n'est pas le coté intuitif de cet axiome qui est en jeu : il est intuitif (un produit d'ensembles non vides est non vide : ça "sonne" bien). C'est ce qu'il permet de construire/produire qui le rend spécial (comme le postulat des droites parallèles d'Euclide, le principe du tiers exclu, etc.)
Oui, nous somme d'accord. Comme l'axiome de l'infini, etc.
Mais comme vous le dites vous-même ce ne sont pas des considérations mathématiques (sinon elles n'auraient pas de sens) ; comme je le disais dans un post précédent, avec ce critère, l'axiome des parties est tout aussi "spécial", et je pourrais ajouter l'axiome de remplacement (et même l'axiome de substitution).
Ne savez-vous pas, ou faites vous semblant de ne pas savoir que c'est juste pour indiquer que l'on ajoute AC aux axiomes de ZF ? Je ne vois pas comment à partir de ma phrase "Qu'il soit moins intuitif que d'autres pour des gens non accoutumés à la théorie des ensembles, c'est possible" vous en déduisez que le C de ZFC serait pour des gens non accoutumés.
Avant de déclarer que tel axiome est spécial, il faudrait définir spécial, et vous-mêmes dites que cela n'a pas de sens ...
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'ai écrit qu'il n'y avait pas de "preuve mathématique".
Mais il me semble bien que les axiomes sont inventés, acceptés, refusés, suite à des considérations mathématiques, car se retenir/refuser des axiomes dans tel ou tel objectif, c'est en particulier faire des maths. Vous l'avez dit vous-même (votre second message, il me semble)
Par ailleurs, qu'il y est d'autres axiomes/principes/etc qui soient discutables et discutés n'est pas un scoop ! J'en ai donné également (qu'il est inutile que je répète).
ce qui montre que l'on (pas uniquement moi !) considère l'AC comme assez particulier, en tout cas suffisamment particulier pour le signaler explicitement avec une lettre majuscule : ZFC.
Merci de déformer mes propos : je dis exactement le contraire.
Dernière modification par leon1789 ; 13/06/2011 à 10h21.
Ah ben vla bien un argument définitif, je suis contraint d'en rester là : je suis à court d'arguments
Je suis Charlie.
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ce qui montre que l'on (pas uniquement moi !) considère l'AC comme assez particulier, en tout cas suffisamment particulier pour le signaler explicitement avec une lettre majuscule : ZFC.
Merci de déformer mes propos : je dis exactement le contraire.La première partie semble contredire la seconde. À moins qu'il y ait une différence essentielle entre "spécial" et "particulier" ???
belle pirouetteAh ben vla bien un argument définitif
Effectivement, pas de différence entre "spécial" et "particulier".
Médiat demande une définition mathématique du mot "particulier", une preuve mathématique du fait l'AC est "particulier". J'ai répondu que cela n'a évidemment pas de sens (et il le savait bien).
Mais il n'y a pas de contradiction avec le fait que l'AC est particulier (comme certains autres axiomes/principes...), car le mot "particulier" sort de considérations sur les mathématiques qui découlent de cet axiome. Le nombre d'axiomes "discutés" (l'AC par exemple, mais pas seulement) est faible par rapport à l'ensemble de tous les axiomes énoncés. Il y a bien une raison à cela. En ce qui concerne l'AC, j'ai donné le sentiments que certains matheux ont. Garf les a d'ailleurs confirmés.
Il y a évidemment une part non-mathématiques dans les mathématiques : par exemple, le choix d'accepter et de refuser tel axiome, pour des raisons personnelles (intuition ou contre-intuition) ou scientifiques (application à la physique, l'info, ...).
Voir rapidement http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...xiome_du_choix
Cela reprend des thèmes évoqués ici : intuition physique (Tarski), constructibilité, mesurabilité, etc. ( ...Rien à voir avec les "gens non accoutumés à la théorie des ensembles"... )
...même si je ne suis pas d'accord sur un point : on peut traiter de la géométrie algébrique avec ou sans axiome du choix.
Par contre le paragraphe entier consacré à l'importance du C majuscule dans ZFC est une pure merveille stylistique
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
les conséquences de l'axiome du choix sont sans-doute contre-intuitives, mais l'axiome en lui-même est très naturel. Mon interprétation, c'est que c'est le concept d'ensemble et la théorie des ensembles toute entière qui ne recouvre pas la notion intuitive de collection d'objets. Il faut s'y faire.
Parfaitement d'accord ! Je me répète : l'axiome de l'ensemble des parties n'a rien d'intuitif, et il est très généralement mal compris (par les gens non accoutumés etc.).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
