Particularité de l'axiome du choix

[erik]

Il ne faut pas oublier le principal : ZF + Axiome de Solovay + AC non consistant.
C'est en cela que AC est paradoxal (= menant à une contradiction) dans "ZF + Axiome de Solovay" .

Bien sûr que AC ajouté à "ZF + Axiome de Solovay" mène à une théorie non consistante, de même que AS ajouté à "ZF + AC" mène à une théorie non consistante (ce qui ne signifie pas que l'axiome de Solovay est "paradoxal").

AC et AS affirment ou impliquent des énoncés clairement inconciliables :
* il existe des sous ensemble de IR non Lebesgue mesurable
* il n'existe pas de sous ensemble de IR non Lebesgue mesurable

Rien d'étonnant à ce qu'on ait une théorie non consistante quand on les mets ensemble.

Ce que tu dit revient à dire :
Le 5° postulat d'Euclide est paradoxal, la preuve :
Les 4 premier postulats + le 5° + non (le 5°) est non consistant

Qu'un groupe d'axiomes conduise à une théorie inconsistante signifie juste que les axiomes en question sont incompatibles entre eux, mais ne signifie en aucun cas que l'un d'eux est "paradoxal".
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[karlp]

il a le même statut oui et non. Le fait qu'on puisse développer une théorie des ensembles sans cet axiome indique qu'il est moins central que d'autres. Je ne sais pas à quoi ressemblerait une théorie des ensembles sans l'axiome d'extensionnalité (qui dit en gros qu'en ensemble est caractérisé par les éléments qu'il contient et par rien d'autre). De ce point de vue l'axiome du choix est un peu comme l'axiome des parallèles de la géométrie: on peut l'accepter ou non et on obtient des théories intéressantes.

Je comprends bien ce que vous dîtes.
Mais d'un point de vue strictement mathématique cet axiome n'est pas différent des autres: c'est en fonction des croyances ou des besoins du sujet qu'il va apparaître comme étant spécial.
J'imagine que si ce n'était pas le cas, on aurait inventé un nouveau terme pour distinguer deux catégories d'axiomes formellement différents.

[Médiat]

Je ne sais pas à quoi ressemblerait une théorie des ensembles sans l'axiome d'extensionnalité

Une théorie des ensembles, peut-être pas, mais une autre théorie, pourquoi pas.

L'axiome d'extensionnalité dit que pour une relation R binaire :

qui n'est clairement pas un axiome de la théorie des relations d'équivalence (par exemple).

Ce que l'on peut dire c'est que ZF est un "noyau" de théorie axiomatique essentiellement non complète, donc il existe "plein" de propositions indécidables( dont AC), toutes ces propositions prendraient le statut de "spéciales dans ZF" (comme je l'ai dit dans un message précédent, on a défini au mieux la notion de "spéciale dans ZF").
On peut dire la même chose de toutes les théories isoconsistante avec et incluant ZF (ZFC par exemple) et du coup les propositions indécidables (HC par exemple) dans ZFC deviendrait "spéciales dans ZFC", et pourquoi pas, du coup "super-spéciales dans ZF".

[karlp]

Combien de théories n'admettant pas l'AC sont developpées en math?
Considérer n'importe quel autre axiome (celui de l'ensemble vide, axiome d'extension, ...), et se poser la même question.

Ce critère quantitatif montre bien que ce caractère "spécial" ne dépend que des désirs ou des besoins de certains mathématiciens, mais pas des caractéristiques du discours mathématique lui-même (par analogie, le postulat de la liberté humaine va apparaître comme étant "spécial" pour un certain type de discours philosophique. Ce n'est pas pour autant que ce postulat est formellement différent d'un postulat philosophique)

[lamim]

Mais d'un point de vue strictement mathématique

C'est pas très très évident pour moi. Je comprends qu'on puisse ne pas me comprendre, mais de mon point de vue, j'ai du mal à définir ce qu'est un point de vue strictement mathématique. D'ailleurs pour cette raison, la pertinence de mon avis est limitée, car justement pour moi, seules les personnes expertes sur ce sujet peuvent donner un avis pertinent sur la question.
Dans mon idée, les mathématiques doivent avoir un petit peu de sens, juste un tout petit peu, pour que l'on puisse s'y raccrocher, et en faire une matière vivante et dynamique, avec la réflexion de nouveaux théorèmes, nouvelles voies etc. Quand on comprend qu'il faut ce tout petit sens impossible à supprimer, dès lors en fait plus aucun axiome est comparable à aucun autre.

[leon1789]

Ce que tu dit revient à dire :
Le 5° postulat d'Euclide est paradoxal, la preuve :
Les 4 premier postulats + le 5° + non (le 5°) est non consistant

C'est un peu beaucoup exagéré...

D'un autre coté, le 5° postulat d'Euclide est lui aussi "spécial".

Qu'un groupe d'axiomes conduise à une théorie inconsistante signifie juste que les axiomes en question sont incompatibles entre eux, mais ne signifie en aucun cas que l'un d'eux est "paradoxal".

C'est pourtant le sens du mot paradoxe dans "paradoxe de l'ensemble des ensembles" : admettre que l'ens. des ens. existe ammène à une contradiction.
Mais peut-être que ceci n'est pas à retenir et qu'il faut réserver le mot paradoxe uniquement à "qui choque le sens commun".

[leon1789]

Je comprends bien ce que vous dîtes.
Mais d'un point de vue strictement mathématique cet axiome n'est pas différent des autres:

je rentre en "mode Médiat" : une définition de point de vue strictement mathématique ?

Je n'ai jamais vu une théorie niant le principe de non-contrdiction...

J'imagine que si ce n'était pas le cas, on aurait inventé un nouveau terme pour distinguer deux catégories d'axiomes formellement différents.

Ben on peut essayer le numéro de catégorie d'un axiome est le nombre de théories mathématiques développées sans cet axiome.

[leon1789]

Une théorie des ensembles, peut-être pas, mais une autre théorie, pourquoi pas.

pourquoi pas (réponse de logicien), d'accord, mais pourquoi n'est-elle pas encore développée ?

[Médiat]

pourquoi pas (réponse de logicien), d'accord, mais pourquoi n'est-elle pas encore développée ?

Mais elles le sont, j'ai déjà donné un exemple.

[Médiat]

Je n'ai jamais vu une théorie niant le principe de non-contrdiction...

Que vous n'en ayez pas vu ne prouve rien :

1) vous faites une confusion entre axiomes d'une théorie et axiomes d'une logique (qui ont effectivement un statut différent les uns des autres).
2) vous semblez ignorer les travaux de Lupasco.

[leon1789]

Une théorie des ensembles, peut-être pas, mais une autre théorie, pourquoi pas.

Mais elles le sont, j'ai déjà donné un exemple.

Où ?
pourquoi dites-vous "peut-être" et "pourquoi pas" si tel est le cas ?

[leon1789]

Que vous n'en ayez pas vu ne prouve rien :

certes oui

1) vous faites une confusion entre axiomes d'une théorie et axiomes d'une logique (...)

certes non

2) vous semblez ignorer les travaux de Lupasco.

Sommes-nous encore dans le monde des maths ?

[karlp]

1) C'est pas très très évident pour moi. Je comprends qu'on puisse ne pas me comprendre, mais de mon point de vue, j'ai du mal à définir ce qu'est un point de vue strictement mathématique. D'ailleurs pour cette raison, la pertinence de mon avis est limitée, car justement pour moi, seules les personnes expertes sur ce sujet peuvent donner un avis pertinent sur la question.
Dans mon idée, les mathématiques doivent avoir un petit peu de sens, juste un tout petit peu, pour que l'on puisse s'y raccrocher, et en faire une matière vivante et dynamique, avec la réflexion de nouveaux théorèmes, nouvelles voies etc. 2) Quand on comprend qu'il faut ce tout petit sens impossible à supprimer, dès lors en fait plus aucun axiome est comparable à aucun autre.

1) Je vais prendre le risque de me tromper (restant ouvert à la correction qu'un plus avisé pourrait apporter): il me semble que, formellement, il n'y a pas de différence entre théorème et lemme: dans les deux cas il s'agit d'une proposition démontrée à partir des axiomes et/ou d'autres théorèmes ou lemmes.
La seule différence tiendrait à l'importance que nous accordons aux propositions ainsi démontrées: cette différence ne serait donc pas "strictement mathématique", mais ne dépendrait que du sujet.
-mea culpa si je dis des âneries-

En admettant qu'un axiome nous semble "particulier", par rapport à d'autres: est-ce que cette "particularité" vient du sujet ou bien est formellement justifiée ?

2) S'ils sont tous "particuliers", alors aucun ne l'est (je trouve "amusante" cette affirmation : elle transgresse le principe de non contradiction et est pourtant sensée)

[karlp]

je rentre en "mode Médiat" : une définition de point de vue strictement mathématique ?

Je n'ai jamais vu une théorie niant le principe de non-contrdiction

Cela montre simplement que nous avons une préférence pour les théories non-contradictoires: cela dépend encore d'un choix subjectif
A moins qu'Aristote n'ait eu raison: il prétendait que le principe de non-contradiction était indirectement démontrable: si vous le refusez alors vous l'admettez implicitement (serait-ce alors un théorème déductible du principe du tiers exclu ?).

Ben on peut essayer le numéro de catégorie d'un axiome est le nombre de théories mathématiques développées sans cet axiome

Alors ils ont tous un numéro correspondant à l'infini - à condition d'admettre l'axiome de l'infini.

[lamim]

1) Je vais prendre le risque de me tromper (restant ouvert à la correction qu'un plus avisé pourrait apporter): il me semble que, formellement, il n'y a pas de différence entre théorème et lemme: dans les deux cas il s'agit d'une proposition démontrée à partir des axiomes et/ou d'autres théorèmes ou lemmes.
La seule différence tiendrait à l'importance que nous accordons aux propositions ainsi démontrées: cette différence ne serait donc pas "strictement mathématique", mais ne dépendrait que du sujet.
-mea culpa si je dis des âneries-

En admettant qu'un axiome nous semble "particulier", par rapport à d'autres: est-ce que cette "particularité" vient du sujet ou bien est formellement justifiée ?

2) S'ils sont tous "particuliers", alors aucun ne l'est (je trouve "amusante" cette affirmation : elle transgresse le principe de non contradiction et est pourtant sensée)

C'est une bonne manière de mettre en évidence la question effectivement.
D'un point de vue platonicien, la question est vite réglée, les objets mathématiques ayant tous une réalité, chaque axiome est particulier ontologiquement. D'un point de vue formaliste, c'est plus subtile, cet argument n'est pas fondé, c'est plus que chacun est libre de comprendre, utiliser, faire des mathématiques avec les axiomes comme il veut, il n'y a pas d'arguments définitifs différenciant les axiomes.

[karlp]

D'un point de vue platonicien, la question est vite réglée, les objets mathématiques ayant tous une réalité, chaque axiome est particulier ontologiquement. .

Il existe des "variantes " dans le platonisme.

On ne trouve pas le terme "axiome" (ou son équivalent) dans le texte de Platon. On rencontre l'expression "hypothèse considérée comme principe" mais qui pourrait aussi bien se rapporter aux données d'un problème.
Chez les platonicien, on peut rencontrer celui qui estime que l'axiome dénote une réalité intelligible et est donc vrai pour cette raison. Je crois que cette position pourrait correspondre à Frege.
Mais un autre platonicien pourrait considérer qu'il n'est pas possible de savoir si un axiome est vrai en lui-même, mais néanmoins considérer que tel ou tel axiome est une bonne hypothèse sur laquelle l'esprit humain peut s'appuyer pour dévoiler une partie de la réalité mathématique intelligible. Je crois que Gödel illustre cette forme de platonisme.

[leon1789]

2) S'ils sont tous "particuliers", alors aucun ne l'est (je trouve "amusante" cette affirmation : elle transgresse le principe de non contradiction et est pourtant sensée)

S'ils sont tous "particuliers", alors aucun ne l'est :
cela montre que certains ne sont pas particuliers.

Cela montre simplement que nous avons une préférence pour les théories non-contradictoires: cela dépend encore d'un choix subjectif

Si on continue, tout va être subjectif, puisque tout sort de notre tête...

Alors ils ont tous un numéro correspondant à l'infini.

Ah bon, on a déjà créé une infinité de théories avec nos petits doigts ?

De toute manière, nous sommes d'accord que cette histoire de numéro est une boutade.

[leon1789]

A toute fin utile, un texte de Fraenkel sur l'axiome du choix : http://www.persee.fr/web/revues/home...num_50_27_4405
<< L'axiome du choix peut être considéré comme le plus intéressant et — bien qu'il ait moins de cinquante ans d'âge — comme l'axiome le plus discuté de la mathématique après l'axiome des parallèles d'Euclide. Jetons un coup d'œil sur sa préhistoire. >> (page 431)

[leon1789]

A toute fin utile, un texte de Fraenkel sur l'axiome du choix : http://www.persee.fr/web/revues/home...num_50_27_4405
<< L'axiome du choix peut être considéré comme le plus intéressant et — bien qu'il ait moins de cinquante ans d'âge — comme l'axiome le plus discuté de la mathématique après l'axiome des parallèles d'Euclide. Jetons un coup d'œil sur sa préhistoire. >> (page 431)

C'est une texte très riche en exemples. Ne pas rater la conclusion (partie IV, page 452) !

[Amanuensis]

Si on continue, tout va être subjectif, puisque tout sort de notre tête...

Les mathématiques sortent d'ailleurs ? D'où ?

[Médiat]

Je ne sais pas à quoi ressemblerait une théorie des ensembles sans l'axiome d'extensionnalité

Une théorie des ensembles, peut-être pas, mais une autre théorie, pourquoi pas.

Je confirme qu'il en existe : les théorie des ensembles avec uréléments (et il en existe plusieurs) ne vérifient pas l'axiome d'extensionnalité.

[Amanuensis]

Remarque incidente pas mathématique. En cherchant urélément, je ne trouve que la graphie ur-element, c'est à dire presque l'écriture allemande (ce qui se comprend, ur- étant allemand). En allemand on a Urelement, pluriel Urelemente).

Les ur-elements sont aussi appelés atomes, individus, éléments primitifs ....

(On notera le pluriel francisé--ou anglicisé, qui sait--)

La page de discussion http://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion:Ur-element parle un peu de la graphie...

--

Opinion personnelle : comme "élément primitif" est déjà pris, je choisirais ur-élément, avec le tiret pour séparer la partie française et la partie étrangère. À l'instar de ce que font les anglophones, i.e., ur- suivi d'un mot anglais (j'ai trouvé par exemple ur-poem, ur-language-- c'est d'ailleurs en linguistique qu'ai rencontré la construction ur- dans le temps).

[Médiat]

J'avoue que je n'ai jamais compris pourquoi il n'y avait pas de traduction officielle de ur-élément ; j'ai parfois vu Atome, mais ur-élément (sous une graphie ou une autre) reste beaucoup plus courant.

[leon1789]

Je confirme qu'il en existe : les théorie des ensembles avec uréléments (et il en existe plusieurs) ne vérifient pas l'axiome d'extensionnalité.

visiblement NFU vérifie cet axiome http://fr.wikipedia.org/wiki/Ur-element
Non ?

et NF démontre la négation de l'axiome du choix !

[leon1789]

visiblement NFU vérifie cet axiome http://fr.wikipedia.org/wiki/Ur-element
Non ?

Non, il y a un souci de "type" entre les ensembles...

[Médiat]

visiblement NFU vérifie cet axiome http://fr.wikipedia.org/wiki/Ur-element
Non ?

Non, comme vous l'avez noté vous-même, mais pire encore on ne peut pas considérer que cette version plus faible que l'extensionnalité, soit l'axiome que l'on trouve dans toutes les théories des ensembles, puisque ce n'est même pas le même langage.

[Amanuensis]

Que signifie "X is consistent relative to Y" avec X et Y des théories, et que signifie "X is consistent relative to anything", avec X une théorie ?

[Médiat]

Que signifie "X is consistent relative to Y" avec X et Y des théories, et que signifie "X is consistent relative to anything", avec X une théorie ?

"X is consistent relative to Y" : je suppose que X est une théorie contenant Y, dans ce cas cela veut dire que X est consistant si Y l'est (l'autre sens est trivial). ZFC est consistant relativement à ZF ; en français on dit plutôt X isoconsistant avec Y, ou même X est co-consistant avec Y (c'est cette dernière expression que j'ai toujours utilisée).

"X is consistent relative to anything" : je n'ai jamais vu cette expression (que je trouve "bizarre"*), mais comme dans anything il y a le vide, cela veut dire que X est consistant.

* Bizarre, car dans anything, il y a toutes les théories possibles imaginables, même dans d'autres langages, ce qui rend les choses bien compliqué pour pas grand-chose.

[Amanuensis]

Le texte du Wiki français me paraît mal écrit, alors.

Le texte anglais "the consistency of NF relative to anything remains an open problem" pourrait s'interpréter comme "on ne connaît pas de théorie Y strictement incluse dans NF telle que NF soit co-consistante à Y" ?

Par ailleurs, NF est-elle incluse dans NFU ? Ce qui est indiqué en relation avec AC semble impliquer le contraire, non ? (Si on peut prouver un théorème dans une théorie on peut le prouver dans toute extension au sens strict, non ?)

De même, l'adjonction d'ur-éléments à ZF est-celle vraiment une extension de ZF ? Ni la phraséologie du texte anglais, ni celle du texte français vont dans ce sens.

[Médiat]

Le texte anglais "the consistency of NF relative to anything remains an open problem" pourrait s'interpréter comme "on ne connaît pas de théorie Y strictement incluse dans NF telle que NF soit co-consistante à Y" ?

Pour moi cela veut dire que l'on a pas démontré la consistance de NF.

Par ailleurs, NF est-elle incluse dans NFU ? Ce qui est indiqué en relation avec AC semble impliquer le contraire, non ? (Si on peut prouver un théorème dans une théorie on peut le prouver dans toute extension au sens strict, non ?)

C'est assez troublant puisque si NF démontre non AC, NF U {autres axiomes} démontre aussi non AC ; je ne connais pas bien NF et encore moins NFU, donc peut-être que NFU n'est pas de la forme NF U {autres axiomes}

De même, l'adjonction d'ur-éléments à ZF est-celle vraiment une extension de ZF ? Ni la phraséologie du texte anglais, ni celle du texte français vont dans ce sens.

C'est une extension, mais la question, c'est est-elle conservative (je ne connais pas non plus cet aspect des choses).