Particularité de l'axiome du choix

[karlp]

Parfaitement d'accord ! Je me répète : l'axiome de l'ensemble des parties n'a rien d'intuitif, et il est très généralement mal compris (par les gens non accoutumés etc.).

Bonjour très cher Médiat

Comme "je fais partie" (sans jeu de mot) de ces gens inaccoutumés, mais que j'ai un peu le soucis de ne pas me laisser abuser, je suis allé sur wikipedia pour trouver cette formulation en langage "naturel":

Pour tout ensemble E, il existe un ensemble P tel que tout ensemble A est un élément de P si et seulement s’il est une partie de E.

Pourriez vous nous indiquer quelle erreur est souvent commise dans la compréhension de cet axiome (comme il me semble intuitivement simple, je soupçonne un défaut de lecture) ?


(Pour répondre à une remarque/question faite plus haut sur l'utilité de certains développements mathématiques hors du champ mathématique : quand bien même une partie n'aurait aucun intérêt en dehors des maths (en physique ou dans une autre science) - ce qui ne me pose aucun problème-, il resterait ceci qu'il n'y a pas plus belle école de rigueur; Platon en estimait l'étude nécessaire pour éviter que les étudiants ne confondent la sophistique et la dialectique)
-----

[Médiat]

Bonjour cher karlp (cela faisait longtemps, trop )

Pour tout ensemble E, il existe un ensemble P tel que tout ensemble A est un élément de P si et seulement s’il est une partie de E.

Pourriez vous nous indiquer quelle erreur est souvent commise dans la compréhension de cet axiome (comme il me semble intuitivement simple, je soupçonne un défaut de lecture) ?

La formulation de wikipedia est la traduction en français de la formule mathématiques (donc d'une certaine façon je n'en vois pas l'intérêt), elle est donc correcte, mais ne permet pas de lever les ambiguités qui y résident sournoisement (j'en dirai plus un peu plus tard, mais je laisse d'autres personnes répondre, surtout s'il y avait des gens pas d'accord avec moi sur la non-trivialité de cet axiome).

(Pour répondre à une remarque/question faite plus haut sur l'utilité de certains développements mathématiques hors du champ mathématique : quand bien même une partie n'aurait aucun intérêt en dehors des maths (en physique ou dans une autre science) - ce qui ne me pose aucun problème-, il resterait ceci qu'il n'y a pas plus belle école de rigueur; Platon en estimait l'étude nécessaire pour éviter que les étudiants ne confondent la sophistique et la dialectique)

Et pour ajouter à cela, je précise aussi que refuser l'axiome du choix au motif, par exemple, qu'il permet de démontrer le "paradoxe" de Banach-Tarski est une position que je comprends et que je ne critique pas, mais ce n'est pas un argument mathématique !

[leon1789]

Parfaitement d'accord ! Je me répète : l'axiome de l'ensemble des parties n'a rien d'intuitif, et il est très généralement mal compris (par les gens non accoutumés etc.).

Bien ! Vous avez trouvé un concept mathématique qui n'a rien d'intuitif et mal compris par les gens qui n'y connaissent pas grand chose : encore un scoop, bravo. Et vous le répétez, on le voit bien Mais vous vous complaisez dans le hors sujet ! Ici, on parle de l'axiome du choix, de la manière de le présenter, de sa nature, de ses conséquences, et de ce que le gens en pensent (désolé, pas de définition mathématique du verbe "penser").

Libre à vous d'ouvrir une discussion avec le sujet "Particularité de l'axiome de l'ensemble des parties"... pour des gens accoutumés ou pas ?

Et pour ajouter à cela, je précise aussi que refuser l'axiome du choix au motif, par exemple, qu'il permet de démontrer le "paradoxe" de Banach-Tarski est une position que je comprends et que je ne critique pas, mais ce n'est pas un argument mathématique !

Oui, nous avons compris que, pour vous, c'est un argument de plombiers-zingueurs (pour reprendre un métier que vous appréciez).

Mais en tant que parfait mathématicien, vous avez bottez en touche à la simple question de Seirios...

[leon1789]

les conséquences de l'axiome du choix sont sans-doute contre-intuitives, mais l'axiome en lui-même est très naturel.

L'axiome du choix dénombrable est naturel, ok, mais est-ce que celui d'un choix indénombrable l'est-il aussi ? C'est comme considérer une somme dénombrable (une série) et une somme "indénombrable" (une intégrale) : on voit la différence de complexité entre les deux, non ?

[Médiat]

Je sais que je perds mon temps en vous répondant, mais tant pis.

Oui, nous avons compris que, pour vous, c'est un argument de plombiers-zingueurs (pour reprendre un métier que vous appréciez).

Une fois de plus vous déformez mes propos et en profitez pour vous moquer des plombiers-zingueurs qui est une profession très honorable.

vous avez bottez en touche à la simple question de Seirios...

Relisez-moi et tachez de comprendre : j'ai répondu !

[invite986312212]

L'axiome du choix dénombrable est naturel, ok, mais est-ce que celui d'un choix indénombrable l'est-il aussi ?

pour moi il n'y a pas de différence entre le cas dénombrable et le cas non dénombrable. Mais j'admets que "naturel" n'est pas un terme qu'on peut définir sans ambiguïté. Disons que c'est mon ressenti. Si on supprime l'axiome du choix on n'a peut-être plus certains paradoxes comme celui de Banach-Tarski mais on a des surjections qui n'ont pas d'inverse à droite (ma formulation préférée), ce qui est un peu embarrassant. <enfin, des surjections dont on ne sait pas si elles ont une inverse à droite>

[Médiat]

D'accord entièrement, à une précision près :

Si on supprime l'axiome du choix on n'a peut-être plus certains paradoxes comme celui de Banach-Tarski

Dans cette phrase il faut comprendre (j'ai supposé que c'est ce que vous vouliez dire) "paradoxe" dans son sens strict de "qui choque le sens commun" et non au sens de "qui ne peut exister" comme dans le "paradoxe de l'ensemble de tous les ensembles", c'est à dire un "paradoxe" qui n'a pas, en-soi, d'inconvénient mathématique.

[invite986312212]

oui, je crois que c'est une appellation traditionnelle "paradoxe de Banach-Tarski", mais il ne viole aucune règle logique (pas plus que le "paradoxe de Bertrand", ou quelques autres).

[leon1789]

Une fois de plus vous déformez mes propos et en profitez pour vous moquer des plombiers-zingueurs qui est une profession très honorable.

Déformer les propos, vous parlez en personne accoutumée. Je ne ferai pas un résumé de tout ce que vous avez écrit de ce genre plus haut...

Relisez-moi et tachez de comprendre : j'ai répondu !

Tâchez aussi de comprendre que certaines personnes n'ont vraiment pas la même manière que vous de vivre des maths... ah mince, je n'ai pas donné la définition mathématique du mot vivre.

[leon1789]

pour moi il n'y a pas de différence entre le cas dénombrable et le cas non dénombrable. Mais j'admets que "naturel" n'est pas un terme qu'on peut définir sans ambiguïté. Disons que c'est mon ressenti.

le ressenti est personnel, je comprends bien.

Mais comme il existe des variantes affaiblies de l'AC (AC dénombrable, ...), c'est qu'il y a diverses sensibilités à son sujet. Et ces diverses formes sont considérées pour leurs implications.

Si on supprime l'axiome du choix on n'a peut-être plus certains paradoxes comme celui de Banach-Tarski mais on a des surjections qui n'ont pas d'inverse à droite (ma formulation préférée), ce qui est un peu embarrassant. <enfin, des surjections dont on ne sait pas si elles ont une inverse à droite>

Effectivement, je comprends que l'on puisse trouver cela gênant : d'ailleurs, certains vont aller jusqu'à supprimer d'autres "trucs élémentaires" (tiers exclu, etc.) pour éviter de ce retrouver dans ces situations d'existences non effectives.

[Seirios]

Effectivement, je comprends que l'on puisse trouver cela gênant : d'ailleurs, certains vont aller jusqu'à supprimer d'autres "trucs élémentaires" (tiers exclu, etc.) pour éviter de ce retrouver dans ces situations d'existences non effectives.

"Existence non effective" ?

[Médiat]

oui, je crois que c'est une appellation traditionnelle "paradoxe de Banach-Tarski", mais il ne viole aucune règle logique (pas plus que le "paradoxe de Bertrand", ou quelques autres).

Nous sommes bien d'accord et vous confirmez que je vous avais bien compris, je voulais juste éviter toute ambiguité (pour les autres lecteurs) due à la polysémie du mot "paradoxe".

[leon1789]

"Existence non effective" ?

oui, je voulais reprendre ce qu'ambrosio avait évoqué "des surjections qui n'ont pas d'inverse à droite".

Avec l'axiome du choix, toute surjection admet un inverse à droite (existence). Sans l'axiome du choix, il y aurait <<des surjections dont on ne sait pas si elles ont une inverse à droite>> (non effectivité)

En fait, l'axiome du choix ne permet pas réellement l'effectivité d'un inverse à droite, mais juste une existence abstraite.



En parlant d'existence non effective, je pensais à un autre genre de problèmes, comme celui de la factorisation des nombres entiers en nbres premiers :

On fait une récurrence (1 est un produit indexé sur le vide).
Soit N un entier > 1. Si N est premier alors il est factorisé ; si N n'est pas premier alors il se factorise en N=AB avec A,B < N et A,B eux se factorisent en premiers (hypo de récurrence). Principe de récurrence : tout entier > 0 se factorisent en produit de premiers.

Ici, pas d'axiome du choix, mais il y a "existence non effective" d'une factorisation. En effet, le beau tiers exclu empêche de rendre effective toute factorisation en suivant cette preuve pourtant simple et "intuitive".

[invite986312212]

En effet, le beau tiers exclu empêche de rendre effective toute factorisation en suivant cette preuve pourtant simple et "intuitive".

je ne comprends pas cette phrase.

mais je crois que la situation est très différente ici. Il y a un algorithme très simple pour factoriser un nombre entier (positif): essayer de le diviser par tous les nombres positifs plus petits. Dans le cas de l'appel à l'axiome du choix, on n'a en général aucun moyen de construire l'objet dont on affirme l'existence.

[leon1789]

je ne comprends pas cette phrase.

si l'on suit lettre à lettre la démo proposée, on ne peut pas factoriser l'entier N, car pour "résoudre" le tiers exclu il faut connaitre des choses sur N (soit qu'il est premier, soit qu'il se factorise N=AB). Mais ces choses sur N ne sont nulle part dans les hypothèses.

mais je crois que la situation est très différente ici. Il y a un algorithme très simple pour factoriser un nombre entier (positif): essayer de le diviser par tous les nombres positifs plus petits.

Absolument, et cette preuve (considérer le plus petit diviseur de N, etc.) est très différente vis à vis du principe du tiers exclu .

humm, j'aurais du prendre un autre exemple, sans possibilité de rustine... tant pis.

Dans le cas de l'appel à l'axiome du choix, on n'a en général aucun moyen de construire l'objet dont on affirme l'existence.

Absolument, et c'est une cause d'inconvénient en mathématiques effectives :cela n'introduit pas de contradiction, mais des impossibilités effectives.

[leon1789]

Sans parler des matheux qui acceptent l'axiome de Solovay, qui rend évidemment l'axiome du choix paradoxal (au sens "contradictoire").

[erik]

Je ne vois pas en quoi l'axiome de Solovay rend AC "paradoxal" ?

[invitefa064e43]

euh, pour rajouter mon grain de sel (moi qui ne suis absolument pas logicien), ce que j'avais compris de l'axiome du choix, qui concerne la question, est qu'il est possible d'avoir un système d'axiome avec AC ou avec NON AC, et que dans les deux cas on n'arrive pas à une contradiction, et on arrive à des théorèmes différents.

un peu comme le fait de prendre les axiomes d'Euclide avec l'axiome des parallèles ou avec son contraire reste cohérent et abouti à des géométries différentes.

Tandis que si on enlève d'autres axiomes et qu'on les remplace par leur contraire, soit ça marche pas, soit on n'a pas étudié parceque dans ces cas ça ressemble à du n^'importe quoi (je parle toujours de la géométrie).

J'ai envie de dire que AC pour ZF prend la place de l'axiome des parallèles pour Euclide (comme ça a déjà été rapidement mentionné), et c'est pour cela qu'il a une place d'intérêt un peu plus "spéciale" que les autres.

(en plus du fait que franchement ces axiomes, c'est pas du facile à comprendre... au point que certains préfèrent dire qu'il n'y a pas d'ensembles infinis : http://www.youtube.com/watch?v=XKy_VTBq0yk)

[leon1789]

Je ne vois pas en quoi l'axiome de Solovay rend AC "paradoxal" ?

L'axiome de Solovay (qui, pour moi, est un axiome 100% mathématique suggéré par son caractère intuitif physique) est compatible avec l'AC dénombrable, mais pas avec la version la plus générale de l'AC (car avec ZFC, il existe des parties de R non mesurables).

[invite4793db90]

Salut,

Mais l'axiome du choix permet-il d'obtenir des choses "concrètes" dans la "vie réelle" (physique, ...) ? Je ne pense pas.

Il me semble que la relation entre mathématiques et réalité est trop ambigüe pour être réduite à ce genre d'interrogation : par exemple, la notion de nombre est-elle réellement concrète ? (beau sujet pour le bac de philo, non ?)

La comparaison avec le cinquième postulat d'Euclide est certes riche d'enseignement, mais sa négation admet des réalisations fécondes. Ce n'est pas le cas pour l'axiome du choix dont (à ma connaissance) la négation conduit à l'abandon d'avantages considérables, jusqu'au principe du tiers exclus, suivant la logique constructiviste.

Je rejoins et souligne la remarque d'ambrosio sur le fait que la difficulté ne réside pas dans l'axiome du choix (même s'il mène à des paradoxes), mais est portée en germe dans les notions d'ensemble et d'infini actuel (que penser par exemple du quantificateur ?).

Cordialement.

[leon1789]

La comparaison avec le cinquième postulat d'Euclide est certes riche d'enseignement, mais sa négation admet des réalisations fécondes. Ce n'est pas le cas pour l'axiome du choix dont (à ma connaissance) la négation conduit à l'abandon d'avantages considérables, jusqu'au principe du tiers exclus, suivant la logique constructiviste.

"Abandon d'avantages", tout dépend à quel jeu on veut jouer.
Personnellement, je trouve la logique formaliste (ZFC) absolument efficace pour nettoyer de grands espaces, mais dès qu'il s'agit de faire de la menuiserie fine, les maths constructives sont assez intéressantes et permet de discerner des choses que ZFC écrase d'un seul pied. Bref, il y a du bon dans les deux théories mon capitaine ! Je dirais même que l'une est au service de l'autre : les preuves constructives sont valides dans ZFC, et les preuves formalistes sont un premier pas pour une approche constructive (cf programme d'Hilbert).

[invite4793db90]

Bonsoir,

dans le ton que tu emploies (menuiserie fine, ...), on sent une nette préférence pour l'approche constructiviste que, pour être tout à fait honnête, je partage.

Cependant, les choses ne sont pas aussi simples que nous le souhaitons, et puisque tu parlais de géométrie algébrique, lorsque le lemme de Zorn nous garantit l'existence d'une clôture algébrique, c'est quand même nettement plus confortable.

D'ailleurs, dans l'approche constructiviste, on devrait pousser jusqu'à la calculabilité voire l'implémentation machine : je me casse actuellement la tête sur le flot géodésique du plan hyperbolique et, loin des considérations nobles et théoriques sur l'axiome du choix, les limites de l' « idéalité mathématique » sont bien réelles (le flot est Anosov, donc chaotique).

Cordialement.

[Médiat]

Tandis que si on enlève d'autres axiomes et qu'on les remplace par leur contraire, soit ça marche pas, soit on n'a pas étudié parceque dans ces cas ça ressemble à du n^'importe quoi (je parle toujours de la géométrie).

Bonjour,

Voilà une définition qui ressemble à un argument mathématique, je la reformule en logique classique du premier ordre.
Soit T une théorie, f une proposition dans le langage de T alors soit :

1) T U {f} et T U {non f} sont consistantes
2) T U {f} est consistante et T U {non f} est non consistante
3) T U {f} est non consistante et T U {non f} est consistante
4) T U {f} est non consistante et T U {non f} est non consistante

Dans le cas 1) f est indécidable dans T, c'est le cas pour beaucoup d'axiomes d'être indécidable dans la théorie obtenue en ne gardant que les autres axiomes, donc difficile de définir "spécial = indécidable".

Dans le cas 2) f est un théorème de T, donc inutile de le définir comme axiome puisque cela ne change pas T.

Dans le cas 3) f est faux dans T, donc l'ajouter à T ne mène nulle part.

Dans le cas 4) T n'est pas consistante, donc de peu d'intérêt.

Je n'ai pas intégré la précision "ça ressemble à du n'importe quoi" dans le cas 1) car ce jugement est non mathématique, ce qui ne veut pas dire que c'est un mauvais argument, mais seulement qu'en quittant le domaine mathématique, chacun pourra trouver tel axiome spécial ou non selon sa philosophie ou son humeur ; et je précise que dans la description ci-dessus, on aurait, au mieux, une définition de "spécial dans T" et non de spécial.

Un exemple du cas 1 :
La commutativité est indécidable dans la théorie des groupes, et les théories obtenues avec ou sans commutativité sont intéressantes, donc la commutativité serait "spécial dans la théorie des groupes", et je ne pense pas que c'est le genre de classification qui aurait justifié la question de Seirios.

[leon1789]

dans le ton que tu emploies (menuiserie fine, ...), on sent une nette préférence pour l'approche constructiviste que, pour être tout à fait honnête, je partage.

Disons que beaucoup de personnes (dans mon entourage) ont tendance à mettre de coté les maths qui ne sont les leurs. Donc j'ai tendance à mettre plus du coté "constructif", mais c'est en réaction.

Cependant, les choses ne sont pas aussi simples que nous le souhaitons, et puisque tu parlais de géométrie algébrique, lorsque le lemme de Zorn nous garantit l'existence d'une clôture algébrique, c'est quand même nettement plus confortable.

Oui, mais le luxe peut etre senti comme perversion
Pour moi, il serait illusoire (voire impossible) de commencer à traiter de la géométrie algébrique constructive sans connaitre la théorie développée de manière classique : comprendre d'abord ce qui se passe en situation confortable pour ensuite aller chercher plus loin.

D'ailleurs, dans l'approche constructiviste, on devrait pousser jusqu'à la calculabilité voire l'implémentation machine : je me casse actuellement la tête sur le flot géodésique du plan hyperbolique et, loin des considérations nobles et théoriques sur l'axiome du choix, les limites de l' « idéalité mathématique » sont bien réelles (le flot est Anosov, donc chaotique).

Ah ça, le constructivisme et les maths effectives font bien deux ! J'ai aussi brisé mes espérances plusieurs fois.

[erik]

L'axiome de Solovay est compatible avec l'AC dénombrable, mais pas avec la version la plus générale de l'AC (car avec ZFC, il existe des parties de R non mesurables).

Ben oui où est le problème ?
On a ZF+AC+non(Axiome de Solovay) consistant et
ZF+non(AC) + Axiome de Solovay consistant.

je ne vois pas du tout en quoi ça implique que AC est "paradoxal" (d'ailleur c'est quoi un axiome paradoxal ?)

[karlp]

Bonjour à tous

Le profane que je suis, à lire les arguments avancés, est conduit à la conclusion que l'axiome du choix n'a rien de "spécial" si ce n'est qu'il peut déranger la philosophie de quelques uns.
D'un point de vue mathématique il a le même statut que n'importe quel autre axiome.

[Médiat]

Bonjour,

Le profane que je suis, à lire les arguments avancés, est conduit à la conclusion que l'axiome du choix n'a rien de "spécial" si ce n'est qu'il peut déranger la philosophie de quelques uns.
D'un point de vue mathématique il a le même statut que n'importe quel autre axiome.

C'est exactement l'idée que je défends depuis mon premier message, mais en l'ayant, sans doute, exprimé moins clairement .

Et je reprécise que je n'ai émis aucun jugement de valeur sur le fait d'être dérangé ou non par cet axiome et/ou ses conséquences.

[leon1789]

Ben oui où est le problème ?
On a ZF+AC+non(Axiome de Solovay) consistant et
ZF+non(AC) + Axiome de Solovay consistant.

je ne vois pas du tout en quoi ça implique que AC est "paradoxal"

Il ne faut pas oublier le principal : ZF + Axiome de Solovay + AC non consistant.
C'est en cela que AC est paradoxal (= menant à une contradiction) dans "ZF + Axiome de Solovay" .

(d'ailleur c'est quoi un axiome paradoxal ?)

voir le message de Médiat pour les deux significations distinctes de paradoxal : (1) "qui choque le sens commun" ou (2) "qui ne peut exister".

[invite986312212]

D'un point de vue mathématique il a le même statut que n'importe quel autre axiome.

il a le même statut oui et non. Le fait qu'on puisse développer une théorie des ensembles sans cet axiome indique qu'il est moins central que d'autres. Je ne sais pas à quoi ressemblerait une théorie des ensembles sans l'axiome d'extensionnalité (qui dit en gros qu'en ensemble est caractérisé par les éléments qu'il contient et par rien d'autre). De ce point de vue l'axiome du choix est un peu comme l'axiome des parallèles de la géométrie: on peut l'accepter ou non et on obtient des théories intéressantes.

[leon1789]

Bonjour,
C'est exactement l'idée que je défends depuis mon premier message, mais en l'ayant, sans doute, exprimé moins clairement

C'était très clair depuis le début. C'est justement pour cela que je suis intervenu car il me semble que si, l'AC est spécial (pas le seul axiome à être spécial, certes).

D'un point de vue mathématique il a le même statut que n'importe quel autre axiome.

Combien de théories n'admettant pas l'AC sont developpées en math?
Considérer n'importe quel autre axiome (celui de l'ensemble vide, axiome d'extension, ...), et se poser la même question.