Continuité sur un segment

[invite5455cd37]

Bonjour à tous,

Voila, petite prise de panique avant les oraux, je me prend la tête avec un problème de continuité..
Si une application est continue sur [a,b] avec a > 0 et b < 1 , pourquoi ne peut-on pas dire que l'application est continue sur ]0,1[ ?
En fait je me pose cette question suite à un exercice sur la convergence uniforme de x -> n * exp(-n^2 * x^2) , On montre qu'elle converge uniformément sur [a,+infini[ avec a>0 mais pas sur ]0,+infini[
Et pour moi ces deux intervalles sont équivalents..

Merci vos, futures, réponses

Laurent.
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[invitefa064e43]

le problème, c'est que si tu changes le a, tu changes ce vers quoi la fonction converge.

avec a->0, la fonction limite "explose" en une fonction discontinue.

[invite5455cd37]

D'accord je crois comprendre un peu mieux, en fait c'est continu sur [a,infini[ avec a fixé, mais pas lorsque l'on fait tendre a vers 0 ?

[invitefa064e43]

un beau dessin vaut parfois mieux que mille paroles :

http://www.wolframalpha.com/input/....

Cette suite de fonction ne converge meme pas simplement en x=0 lorsque n -> infini...
comment pourrait-elle converger uniformément si on s'autorisait a regarder les x aussi proche de zéro qu'on veut ? ils vont forcément tendre eux aussi vers l'infini, à leur "rythme" propre.

ça devrait meme plutot t'étonner que cette suite converge uniformément pour les autres cas, (et même converger tout court), c-à-d sur un intervalle qui va jusqu'à un "a" proche de zéro.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa064e43]

et pour reprendre ce que tu dis :

c'est continu

de quoi tu parles exactement quand tu dis "c'est" et de quelle continuité parles-tu exactement ?

sinon on ne peut pas dire si tu as compris ou non.

[invitec811222d]

En fait puisque ta suite de fonction est continue sur [a,+infini[ et converge uniformément sur [a,+infini[ (a>0 fixé) alors la fonction limite (ici la fonction nulle) est continue sur [a,+infini[ mais on ne peut pas en déduire la continuité de la fonction limite sur ]0,+infini[, tout simplement parceque quand x->0 la limite de ta suite est l'infini donc il ne peut pas y'avoir convergence uniforme. Autrement dit, la continuité sur intervalle [a,b] avec a>0 et b<1 n'implique pas la continuité sur ]0,1[ on ne sait pas ce qu'il se passe au bord.
On peut toujours imaginer la fonction qui à x donne f(x)= a/x si a<x<=b
et 1 si x=a f est bien continue sur [a,b] avec a>0 et b<1 mais elle n'est pas continue sur ]0,1[.

[invitec811222d]

Je sais pas si j'ai été clair mais n'hésites pas à reposer des questions

[Tiky]

En fait puisque ta suite de fonction est continue sur [a,+infini[ et converge uniformément sur [a,+infini[ (a>0 fixé) alors la fonction limite (ici la fonction nulle) est continue sur [a,+infini[ mais on ne peut pas en déduire la continuité de la fonction limite sur ]0,+infini[, tout simplement parceque quand x->0 la limite de ta suite est l'infini donc il ne peut pas y'avoir convergence uniforme. Autrement dit, la continuité sur intervalle [a,b] avec a>0 et b<1 n'implique pas la continuité sur ]0,1[ on ne sait pas ce qu'il se passe au bord.
On peut toujours imaginer la fonction qui à x donne f(x)= a/x si a<x<=b
et 1 si x=a f est bien continue sur [a,b] avec a>0 et b<1 mais elle n'est pas continue sur ]0,1[.

C'est faux. Vous confondez convergence uniforme et continuité. La continuité est une propriété locale alors que la convergence uniforme non.

Si vous avez une suite de fonctions qui converge uniformément vers f sur tout intervalle de la forme avec a > 0 et que les termes de la suite sont des fonctions continues sur , alors f est continue sur .
En effet pour , il existe un réel a tel que : . Or ta suite de fonctions converge uniformément sur . La limite est donc continue en .

En revanche, il est vrai que la converge uniforme sur tout intervalle de la forme avec a > 0 n'implique pas la converge uniforme sur l'intervalle , ni même sur l'intervalle . Il est également vrai qu'on ne peut pas en déduire la continuité de la limite en 0. Encore faut-il que la suite converge ponctuellement en 0.
N'oubliez pas que la converge uniforme n'est qu'une condition suffisante (avec la continuité des termes de la suite) et non nécessaire pour que la limite soit continue.

[invitea07f6506]

mb019 -> C'est gentil d'essayer de répondre aux questions posées par d'autre forumeux, mais essaie quand même de vérifier que tu ne dis pas de bêtises. Merci.


LaurentPSi -> si une fonction est continue sur un intervalle [a,b], elle est aussi continue sur toute partie de cette intervalle, et en particulier sur ]a,b[.

Le problème ici est qu'on ne parle pas d'une seule fonction, qui serait continue ou pas, mais d'une suite de fonctions.

Si une suite de fonctions (de dans pour se fixer une idée, mais l'ensemble de départ peut aussi bien être , [0,1], ou que sais-je encore...) converge simplement vers une fonction , alors on ne peut pas dire grand-chose sur (enfin, si, mais pas à ton niveau). On a donc besoin de conditions plus fortes pour s'assurer que la limite d'une suite de fonctions continues est continue. D'où le résultat suivant :

Si une suite de fonctions converge uniformément vers une fonction , alors est continue.

C'est déjà très bien, mais ce critère est parfois trop restrictif*. Par exemple, si je considère la suite de fonctions de dans : ce suite converge simplement vers la fonction nulle, mais pour tout , on a : on n'a pas de convergence uniforme.

Afin de contourner ce problème, une idée est de fixer un intervalle, par exemple , et de vérifier que la suite converge uniformément sur ; le fait que l'on travaille sur un ensemble borné permet ici d'ignorer les problèmes (à l'infini). On en déduit que la limite est continue sur , et comme c'est vrai pour tout , la limite est continue sur .

En bref : dans mon exemple, on a une suite de fonctions qui converge uniformément vers sur tout intervalle de la forme , mais qui ne converge pas uniformément vers sur (on parle de "convergence uniforme sur tout compact"). Ca ne va pas empêcher la limite d'être continue sur , bien au contraire : c'est ce qu'on est en train de prouver.


* Je tiens à souligner ce fait : la réciproque est fausse en général. On peut avoir une suite de fonctions continues qui converge simplement, mais pas uniformément, vers une fonction continue.

[invitec811222d]

C'est faux. Vous confondez convergence uniforme et continuité. La continuité est une propriété locale alors que la convergence uniforme non.

Si vous avez une suite de fonctions qui converge uniformément vers f sur tout intervalle de la forme avec a > 0 et que les termes de la suite sont des fonctions continues sur , alors f est continue sur .
En effet pour , il existe un réel a tel que : . Or ta suite de fonctions converge uniformément sur . La limite est donc continue en .


En revanche, il est vrai que la converge uniforme sur tout intervalle de la forme avec a > 0 n'implique pas la converge uniforme sur l'intervalle , ni même sur l'intervalle . Il est également vrai qu'on ne peut pas en déduire la continuité de la limite en 0. Encore faut-il que la suite converge ponctuellement en 0.
N'oubliez pas que la converge uniforme n'est qu'une condition suffisante (avec la continuité des termes de la suite) et non nécessaire pour que la limite soit continue.

Veuillez m'excuser je ne me suis pas relu et vous avez bien fait de me reprendre, c'est exactement ce que je voulais dire.