polynôme

[invite371ae0af]

bonjour,
pouvez vous m'aider pour cet exercice:
soit P dans R[X], chercher les polynomes P vérifiant (X+3)P(X)=XP(X+1)

j'ai essayé de faire une analyse-synthèse mais ca doit pas être ca car j'arrive pas à faire l'analyse


merci de votre aide
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[breukin]

Supposez le polynôme de degré et examinez ce qui se passe pour les degrés et par identification des coefficients dans l'équation.

[Seirios]

Bonjour,

Tu peux aussi regarder du côté des racines de P : l'équation donne certaines racines, et il te suffit ensuite de traduire cela en terme de divisibilité.

[breukin]

Oui, c'est pas mal non plus, comme méthode.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

je trouve 3 racines:
P=X(X+1)(X+2)Q(X)

mais comment déterminer le Q?

[Seirios]

En réinjectant cette expression dans l'égalité du départ, tu trouves que Q(X+1)=Q(X). Dans quelle mesure cela est-il possible ?

[invite371ae0af]

cela est possible si Q est constant
donc Q(X)=a avec a dans R

est-ce que je peux traiter tous les exercices de ce type avec la méthode des racines?

[Seirios]

Une méthode s'utilise dès qu'elle fonctionne

[invite371ae0af]

je n'y manquerai pas d'y penser

[inviteb3310807]

(X+3)P(X)=XP(X+1)
Donc P=X(X+1)(X+2)Q(X)
On injecte cette formule dans la précédente :
(X+3)(X+2)(X+1)XQ(X)=X(X+1)(X+ 2)(X+3)Q(X+1)
D’où Q(X)=Q(X+1)
On pose Q(X)=Σ_(i=0 ) à n de a(i)*X ^i
donc Σ_(i=0 )à n de a(i)*X ^i =Σ_(i=0 )^n de a(i)*(X+1) ^i

Après on trouve : Σ_(i=1 )à n de a(i)*[(X+1) ̂i- X ̂i)]=0
On divise pas X^(n-1) :
Σ_(i=1 )à n de a(i)*[(X+1) ^i- X^i)/X^(n-1) ]=0

On fait tendre x vers +∞ :
On trouve lim a(n)*[(X+1) ^n- X^n)/X^(n-1) ]=0
Les autres termes tendent tous vers 0on développe l’expression precedente grace à la formule du binome de newton on calcul la limite on trouve :
lim a(n)*[(X+1) ^n- X ^n)/X^(n-1) ]=a(n)*n=0
donc a(n)=0
de la même manière on trouvera que
a(n-1)*(n-1)=0 donc a(n-1)=0
par une récurrence descendante portant sur des indice p on supposera qu’on est arrivé à a(n-p)*(n-p)=0
avec p<n-1 donc a(n-p)=0
on démontrera que a(n-(p+1))*(n -(p+1))=0
p+1<n donc a(n-(p+1))=0
on peut alors arrivé a conclure que tous les éléments sont nuls sauf un a(0) car
on a a(n-n)*(n-n)=0 donc a (0) est pas nul nécessairement
donc P(X)=b X(X+1)(X+2) ou b est de |R
on peut éviter cette dernière démonstration de récurrence on disant que la famille
([(X+1) ̂i- X ̂i)]) est libre dans |R[X] si i>0 et on conclue que tous les éléments sont nuls sauf a(0).

[inviteb3310807]

une autre démonstration plus facil c'est le fait de supposer que Q(X) n'est pas constant donc il admet forcemment une racine complexe et de ce fait on peut construire une infinité de racine, car si S estune racine alors S+1 l'est aussi, et donc S+2... et par consequent Q est nul ce qui est absurde car Q n'est pas constant donc il est constant.