suite recurrente

[kaderben]

Bonjour
f(x)=(e^x-1)/(e^x-x)
On démontre que f croissante sur [0;1] et pour tout x de [0;1],
f(x) dans [0;1]

On définit une suite (Un) par:
Uo=1/2 et U(n+1) = f(Un)
Question: montrer quepour tout n entier, 1/2<= Un <= U(n+1)<=1

Réponse:

P(n): 1/2<= Un <= U(n+1)<=1
P(0): Uo=1/2 et U1 = 0,56 donc vrai
Supposons P(n) vraie au rang n
Appliquons f à l'inégalité de P(n):
f(1/2) <= f(Un) <= f(Un+1) <= f(1)
donc 0.56 <= U(n+1) <= U(n+2) <= 1
1/2 <= 0.56 <= U(n+1) <= U(n+2) <= 1
Vraie au rang n+1, donc P(n) vraie pour tout n

Est ce correcte ?
Merci
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[inviteb3310807]

le raisonnement est juste

[inviteb3310807]

f(x)=(e^x-1)/(e^x-x)
On démontre que f croissante sur [0;1] et pour tout x de [0;1],
f(x) dans [0;1]

je crois que cette hypothèse est fausse f'(x)=(1-xe^x)/((e^x-x)^2)
reste à etudier le signe de 1-xe^x
on prend g(x)=1-xe^x
g(0)=1>0
g(1)=1-e<0
g(0)*g(1)<0
TVI==>que g change de signe dans [0,1] donc elle n'est pas croissante sur [0,1]

[kaderben]

Bonjour Nospeax
C'est une question de bac 2011 et l'énoncé précise que f croissante sur [0;1] et d'ailleurs on donne la courbe de f en annexe
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

f'(x)=(1-xe^x)/((e^x-x)^2)

Il doit y avoir une erreur de calcul : .

[inviteb3310807]

comment tu as fait pour trouver cette dérivé?

[inviteb3310807]

oui tu as raison

[kaderben]

Bonjour

Au fait c'est une question de bac amérique du nord TS 2011, exo 4 partie C, et le corrigé me parait compliqué.
Voici le lien:
http://www.capmention.fr/abc_dl/pine...7560333917.pdf

Merci de jeter un coup d'oeil si possible.
Merci