Suite récurrente

[invite3eef7911]

Bonsoir à tous, pouvez- vous m'aider pour mon exp svp? j'ai besoin de l'aide?


On considère une suite (Un) définie par son premier terme U0 et la relation de récurrence 4U(n+1) = Un + 9 pour tout entier naturel n

1. Que peut-on dire de la suite (Un) lorsque U0 = 3 ?

U1=3
U2 = 3
On fait on trouve tounours 3? Comment puis je rédiger cela?

2. on suppose désormais que Uo est différent de 3
soit (Vn) la suite définie par N par : Vn = Un + a où a est un réel.

a) déterminer le réel a de façon que la suite (Vn) soit une suite géométrique de raison ¼.
Je suis bloqué?

b) En déduire Vn puis Un en fonction de n et U0.
En déduire que la suite (Un) est convergente et déterminer sa limite.
3. a) Calculer la somme Sn = (nΣ i=0) Ui en fonction de n.
b) déterminer la limite de Sn/n lorsque n tend vers +∞
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[invitefa784071]

1. par recurrence
2.a) v(n)=u(n)+a d'où v(n+1)=u(n+1)+a=1/4(u(n)+9)+a=1/4(u(n)+a)+9/4+3a/4=1/4v(n)+(9+3a)/4. Pour avoir une suite géométrique, il faut...
b) d'où v(n)=(1/4)^n*v(0) d'où u(n)=v(n)-a=v(0)*(1/4)^n-a

3a) Sn=somme d'une suite géométrique -na
b) déduit de a)

[invite3eef7911]

Pour la 1) comment peux-je montrer par récurrence?

Pouvez vous m'aider svp?

[invite3eef7911]

J'ai réussi à faire la 1).
Pour la 2)a) on dit que V(n+1)=1/4 * Vn +(3a+9)/4
donc (Vn) est géométrique de raison 1/4 et 3a+9 = 0 et a=-3
est ce que a=-3?

Pouvez vous m'aider un peu plus pour la 3) a) svp? Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3eef7911]

Pouvez vous m'aider pour la suite de 2)b) svp: en déduire que la suite un st convergente et déterminer sa limite.

Merci.

[invitefa784071]

La question 3.a) te demande de calculer une somme. Or tu ne sais que calculer des sommes arithmétiques et géométriques. Cependant tu sais exprimer u(n) en fonction de v(n) (suite géométrique) et d'une constante appelé c.
En sommant v(k)+c n fois, tu obtiens donc somme(v(n)) que tu sais calculé + somm(c) = c+...+c (n fois) d'où le résultat.
2.b)Quand tu as trouvé que la suite u(n) s'exprime en fonction de n tu trouve la limite par les théorèmes de convergences que tu connais (1/4)^n->0 en OO

[invite3eef7911]

Je n'ai pas bien compris pour la question 3)a) pouvez vous m'aider svp?

[invitefa784071]

qu'est ce que tu n'as pas compris? Comment calculer une somme?
Précise ta demande

[invite3eef7911]

oui, je ne sais pas comment calculer une somme?

[invitefa784071]

si est une suite géométrique alors
Donc

[invite3eef7911]

Oui mais comment je peux calculer la somme de sn en fonction de n avec cette formule?

Pouvez vous m'aider svp?

[invite3eef7911]

Pour la 3)a) j'ai trouvé:

Sn = U0 + U1 +...+ Un-1 + Un
= ((1/4)0(U0 - 3) + 3) + ((1/4)1(U0 - 3) + 3) +...+((1/4)n-1(U0 - 3) + 3) + ((1/4)n(U0 - 3) + 3)
En regroupant les termes en (U0-3) et les termes n +3, il vient ;
Sn = (1 + 1/4 + (1/4)² +...+(1/4)n)(U0 - 3) + 3(n+1)
Est ce que mes calculs sont justes? Si oui, comment puis je faire la suite?

Pouvez vous m'aider svp? Merci.

[invite3eef7911]

Pouvez vous m'aider svp?

[invitefa784071]

Une fois que je t"ai donné la formule il suffit de l'appliquer, je ne vois pas la difficulté...