Etude de Fonction

[invite317470b8]

bonjour tout le monde, j'ai un grand probléme avec cet exam, je n'arrive pas à le résoudre, et je passe une exam similaire dans 2 jours, SVP aidez moii, MERciiiii énormément!
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[Médiat]

Bonsoir,

Désolé, mais nous ne sommes pas là pour faire vos devoirs, sans même que vous nous ayez montré ce que vous avez fait !

[invite317470b8]

tout a fait,je comprend; je voudrais just quelque piste et astuce à suivre pr la plu part des question car je n'arrive pas à résoudre la plus part des question,
par exemple la première question qui est evidente le domaine de convergence est bien ]-1,1[ ...
en fait je trouve plus de difficulté dans la question 4- b) et 5 je ne sais pas comment aboutir au résultat voulu!
Merci de m'aidez

[Tiky]

Bonsoir,

Dans la question 4a, tu as montré que était décroissante sur . Tu sais que :

Tu devrais trouver avec ça la réponse à la 4b.

Concrètement, on te demande de redémontrer la comparaison série-intégrale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Je n'avais pas vu que tu voulais aussi de l'aide pour la question 5a.
Pour cette question, il suffit de majorer ta fonction qui est positive, par une autre fonction dont l'intégrale converge sur . Fais bien attention au fait qu'on intègre par rapport à t et non x.

[invite317470b8]

ohhhh Merci Enormément Tiky, alors oui la question 5 me parait evidence grave à vous Tiky. mais je n'arrive toujours pas à résoudre la question 4-b) est-ce que je dois calculer le sup et comment dois-je procéder pour aboutir au dexième partie de l'inégalité?

[Tiky]

Quelle est la borne supérieur d'une fonction f décroissante sur un intervalle [a, b] ?
Même question pour la borne inférieure.

Pour la seconde partie de l'inégalité, c'est la même chose sauf qu'on minore par

[invite317470b8]

oui exacte j'ai fait un petit tour à mon cour, et cé résolu, maintenant meme 5 b) m'est évident grace à vous TIKY
mais toute fois pouvez vous me donner une piste pour la question 6? et 7? que dois-je utiliser? c'est claire que le calcule de l'integral ne marche pas car j'ai essayer sans résulat

[Tiky]

Pour la question 5b), n'oublie pas de justifier la convergence de la série avant de passer à la limite (c'est très facile).

Pour la question 6, tu dois trouver une primitive de la fonction. Tu peux te servir du résultat. Personnellement j'ai trouvé ma primitive sans calcul.

Pour la question 7, tu fais une petite factorisation :


Tu dois montrer que . Pour cela, tu dois déterminer la limite de lorsque x tend vers . Je vois deux méthodes, une où tu reconnais la somme d'une série bien connue, l'autre où tu utilises la règle de l'Hôpital.

[invite317470b8]

Merci encore une fois TIKY vous me sauvez la vie,
j'avoue que vous etes fort, vous etes arrivez à avoir la primitive sans calcule ça fait des heure que j'essaye sans résultat!!!!
je cours voir si la régle de l'hopital marche c'est la plus évidente à mes yeux!!
une autre question SVP pour la question 1 le domaine de definition est bien ]-1,1[ je suis pas sur de l'équivalent de Un ?? c'est très important pour la suite de l'epreuve..
Merciii enormément encore une fois .

[Tiky]

Oui le domaine est bien . En -1 et 1 le terme général n'est pas toujours définie et pour x > 1, le terme général ne tend pas vers 0.

Pour l'équivalent, il suffit de remarquer que si . Tu dois trouver comme équivalent.

Pour la primitive, calcule la dérivée (par rapport à t) de , puis de .

[invite317470b8]

oui en effet j'ai bien trouvé x^n comme equivalent, il donc evident de montrer que la serie de fonction converge normalement sur le segment ]-a,a[
Par contre je ne vois pas comment obtenir le petit taux o(1/n^2)=u'(x)? pouvez vous m'aidez SVP
Merci encore une fois TIKY

[Tiky]

Tu voulais dire plutôt sur le segment mais ça ne change rien au résultat.

Si tu calcules la dérivée de , tu obtiens : , donc .

Détermine la limite du numérateur et du dénominateur lorsque n tend vers . Remarque que .

[invite317470b8]

on a |x|<a avec 0<a<1
si je calcule la limite du numérateur et dénominateur l'un donne 1 et l'autre 0 c'est à dire que la fonction tend vers 0 c'est bien ça? j'ai toujours un probléme avec le petite taux O(1/x^2) .... j'ai vraiment besoin de l'aide ...Merci

[Tiky]

Oui c'est bien ça, donc

[invite317470b8]

on vous a jamais dit que vous etes génial et sympa, bah vous l'etes Merciiiii
je n'avais pas bien saisie la partie des petits taux encore moins les grand taux dans mon cours, c'est pour cela que j'ai eu du mal à déduire ce résultat directe et assez trivial à vrai dire
question: juste pour etre sur dans la question 4-a) on dérive par rapport à t, c'est bien ça? le résultat devient est

U'(x)= (ln(x)x^t)/(1-x^t)^2
c'est bien ça qui est decroissante
c'est bien ça?

[Tiky]

Merci
Oui ta dérivée est juste.

[invite317470b8]

TIKY j'ai la tete dur, à vrai dire tout à l'heure je n'ai pas réussi à avoir l'encadrement 4-b) qui conserne comparaison série-intégrale (cette partie me pause un vrai problème) :s je n'avais jamais fait un exercice similaire, meme avec l'idée de majoré avec le sup et minoré avec inf je n'arrive pas à passer à l'etape suivante???
Merci

[Tiky]

Les notations sont trompeuses.
est décroissante sur , donc pour . On en déduit que

[invite317470b8]

c'est drôle j'ai eté trompé par ces notions.
bon ma dernière question si vous permetez:
pour la question 2)
on a convergence simple vers 1
je me bloque un peu sur la convergence uniforme pour aboutir sur la convergence normale, comment puis-je faire SVP !!!

[Tiky]

Qu'entends-tu par convergence simple vers 1 ? Ta série de fonctions ne converge pas en 1.

[invite317470b8]

ah oui vous avez raison je me suis donc trompée sur toute la ligne :s
donc j'en conclue qu'on ne dois pas passer par convergence simple pour aboutir à la convergence normal.
je suis totallement perdue, ne sais plus quoi faire, Aide-moi TIky SVP je voudrais savoir comment faire pour avoir cet convergence normal, majoration, etude d'une autre fonction g(x)? que faire?

[Tiky]

Calcule avec , puis assure-toi que la série numérique converge. C'est ça la convergence normale sur [-a, a]. La convergence normale n'a de sens que si tu précises sur quel ensemble tu travailles.
Tu peux te contenter de majorer plutôt que le calculer. C'est plus rapide.

[invite317470b8]

Merci énormément TIky pout votre aide, je vous en remercie bcp

[invite317470b8]

Bonjour, alors voilà la suite de mon exam, quelque question me posent toujours problemes!
puis-je avoir des indice ou une piste sur chacune d'elle ??
Merci d'avance

[Tiky]

Pour la question 9), utilise l'encadrement de la question 5b), la 6), la 7) et la 8). Il suffit de remarquer que .

Pour la question 10), c'est la somme d'une série géométrique de raison . Sachant que

Pour la 11), il suffit de remarquer que . Utilise alors la question 1).

Pour la 12),

Pour la 13), utilise la (absolue) sommabilité de la famille prouvée à la question 12. Cela te permet de réordonner les termes de la série sans changer ni sa nature ni sa somme.

[invite317470b8]

youuupii oui j'aboutit au résultat voulu pr la question 10 et 11 grace à vous TIKy MERCi.
toute fois je n'arrive pas à conclure dans la réponse 9) je susi perdue avec cet encadrement!!!
ainsi que pour la question 12) est-ce que je dois calculer la serie |x^nk| ça va me donner la réponse 10)!!!
je me trompe????

[Tiky]

De la question 5b) et de la question 6, tu tires l'encadrement :
pour

Donc

En utilisant la question 7 et 8, tu montres que les termes de chaque côté de l'encadrement tendent vers 1 ce qui prouve l'équivalent.

Pour la question 12, tu obtiens presque le même résultat sauf que la raison de la série géométrique est et non .

[invite317470b8]

ouiiiii maintenant j'y vois plus clair, franchemnt UN GRAND MERCI à TIKY

oui alors la question 13 est bien evidement la plus difficile, je n'arrive pas à la résoudre non plus,
de l'aiiiideee SVP
MErci bcp TIky

[Tiky]

Tu as prouvé que .
La question 12 te permet de dire que la famille est sommable. Tu peux donc réordonner les termes de la double série sans craindre de changer la nature ou la somme.

n est un diviseur positif de p si et seulement s'il existe tel que . Dans ta somme, tu regroupes tous les termes de la forme . Il y en a exactement . cqfd.