Compacité, norme et primitive

[invite74d6d3ec]

Salut,

Tout en révisant pour mes oraux, il y a un certain nombre de points qui sont encore obscures pour moi. Je voudrai connaitre un peu votre avis:

Primo: Existe-t-il une norme sur l'espace vectoriel des fonctions continues par morceaux de ? (je n'ai croisé que des semi-normes)

Secundo: Si une suite convergente d'un espace vectoriel normé de limite , comment montre-t-on que est un compact de ?

Tercio: Je cherche une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction admette une primitive sur un segment par exemple. Est-ce le fait qu'elle vérifie le théorème des valeurs intermédiaires ? Et si oui, comment le prouver ?

Merci à vous.
Cordialement
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[Tiky]

Salut,

Primo : oui absolument, . Une fonction continue par morceau admet toujours une borne supérieure sur un compact. Il est clair que .

Secundo :
Posons . Soit une suite à valeur dans F. Montrons que admet une sous-suite convergente dans F.

- soit utilise un nombre fini d'éléments de F. Il est évident qu'une telle suite admet une sous-suite convergente.

- soit utilise un nombre infini d'éléments de F (possible si F possède une infinité d'éléments). Montre dans ce cas que admet une sous-suite convergent vers x. Tu peux la construire par récurrence.

Tercio : je doute que l'on connaisse une telle condition. J'y réfléchirai demain à tête reposée.

[invitebe08d051]

Salut,

Primo: Existe-t-il une norme sur l'espace vectoriel des fonctions continues par morceaux de ? (je n'ai croisé que des semi-normes)

Je pense que la vraie question devrait concerner un produit scalaire sur cet espace.

Secundo: Si une suite convergente d'un espace vectoriel normé de limite , comment montre-t-on que est un compact de ?

La situation me semble appropriée pour utiliser le théorème de Borel Lebesgue. (et ça tient en 3 lignes )

[Tiky]

Sauf erreur, le théorème de Borel-Lebesgue n'est valable qu'en dimension finie.
La démonstration que j'ai proposée reste valable dans tout espace métrique

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite74d6d3ec]

Primo : oui absolument, . Une fonction continue par morceau admet toujours une borne supérieure sur un compact. Il est clair que .

Je pense que la vraie question devrait concerner un produit scalaire sur cet espace.

Oui !! J'ai oublié de préciser norme "euclidienne".

Et pour le deuxième point ça marche.

Merci pour vos réponses.

[invitea0db811c]

Bonsoir,

par Borel Lebesgues, Mimo entendait : une partie d'un espace séparé est compact ssi de tout recouvrement d'ouvert de cette partie on peut extraire un sous recouvrement fini. Et c'est effectivement évident dans ce cas là .

[Tiky]

Ah ok ! Pour ma part j'appelle cela la propriété de Borel-Lebesgue et le théorème de Borel-Lebesgue établit que dans un espace vectoriel normé de dimension finie, un sous-ensemble vérifie cette propriété si et seulement si c'est un fermé borné.

Il est vrai que c'est très simple aussi

[invite74d6d3ec]

Re,

Merci pour vos réponses.

Des idées pour les autres questions ?

[invite74d6d3ec]

Petit up.

[Seirios]

Primo: Existe-t-il une norme sur l'espace vectoriel des fonctions continues par morceaux de ? (je n'ai croisé que des semi-normes)

Tu peux toujours prendre la norme discrète : .

Tercio: Je cherche une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction admette une primitive sur un segment par exemple. Est-ce le fait qu'elle vérifie le théorème des valeurs intermédiaires ? Et si oui, comment le prouver ?

Le théorème de Darboux montre que si une fonction admet une primitive, alors elle vérifie la propriété des valeurs intermédiaires. La réciproque me semble cependant fausse : la fonction me semble être un contre-exemple.

[invite57a1e779]

Tu peux toujours prendre la norme discrète : .

Cette jolie "norme" n'est pas homogène : si .

la fonction me semble être un contre-exemple.

Curieux : il n'existe aucun nombre réel tel que et bien que .

[Seirios]

Cette jolie "norme" n'est pas homogène : si .

Effectivement, j'aurais dû vérifier...

Curieux : il n'existe aucun nombre réel tel que et bien que .

Je n'avais pas la bonne définition en tête de la propriété des valeurs intermédiaires (je voyais est un intervalle...), désolé.

[invite57a1e779]

Le contre-exemple usuel : on considère la fonction définie sur par :


Cette fonction satisfait le théorème des valeurs intermédiaires, mais n'admet pas de primitives sur .

En effet, si était une primitive de , la fonction définie sur par : serait dérivable avec :



et l'on contredirait le théorème de Darboux avec la dérivée qui ne satisfait pas le théorème des valeurs intermédiaires.

[invite74d6d3ec]

Merci pour vos réponses.

Concernant la norme, Mimo a rectifié le tir, il s'agit bien de trouver un produit scalaire sur cet espace.

[invite57a1e779]

Si l'on considère une base algébrique de l'espace vectoriel des fonctions continues par morceaux de dans , on peut définir un produit scalaire pour lequel cette base est orthonormé, mais ce produit scalaire ne sera pas connu explicitement et n'aura vraisemblablement aucun intérêt.

Je n'ai personnellement jamais rencontré de produit scalaire sur l'espace , mais voici un moyen d'en construire explicitement : soit le sous-espace de constitué des applications continues à droite sur et continues à gauche en , et le sous-espace de constitué des applications nulles sauf en un nombre fini de points ; ces sous-espaces sont supplémentaires.

Sur , on définit un produit scalaire par :

Sur , on définit un produit scalaire par :

ce qui est licite car la somme est en fait finie.

On définit alors un produit scalaire sur de telle sorte que et soient supplémentaires orthogonaux.

On pourrait remplacer par le sous-espace de constitué des applications continues à gauche sur et continues à droite en , ou (comme pour les séries de Fourier) par le sous-espace des fonctions dont la valeur en tout point les la demi-somme des limites à droite et à gauche.