Probabilité, Statistiques

[invite5966f389]

Bonjour à tous,

Etant en licence de Bio, j'ai eu une sale note à mon partiel de maths et je dois le rattraper. J'ai besoin de votre aide pour comprendre car les maths pour moi.....enfin voilà quoi ^^

Tout d'abord, voici l'exercice 1 de mon partiel, que j'ai fait, on a été plusieurs à trouver le même résultats, et pourtant tout était faux au final. Pouvez-vous m'expliquer ce qui ne vas pas ?


Exo :
Un candidat doit répondre à une question. Il doit cocher une réponse parmi 10 possibles ; il a la probabilité p=0,25 de connaître la réponse ; par contre s'il ignore la réponse il répondra au hasard (sans privilégier donc aucune réponse particulière). Quelle est la probabilité qu'en ayant répondu correctement à la question, le candidat connaisse la réponse ?

-> Alors comme beaucoup d'autres j'ai fait (1/10) x (1/4) = 1/40

1/10 car il a une chance sur 10 de cocher la bonne réponse
1/4 car il a 0,25 chance de connaitre la réponse dès le début.

Voilà, merci de votre aide
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[invite986312212]

c'est faux en effet. Il fallait raisonner comme suit: ou bien le candidat connaît la bonne réponse ou bien il répond au hasard, et les deux éventualités sont exclusives. Il a une chance sur quatre de connaître la bonne réponse et dans le cas contraire, il a une chance sur dix de répondre juste par hasard. La proba cherchée est donc 1/4 + 3/4 * 1/10

[invite5966f389]

J'ai bien été à côté de la plaque, j'ai pas du tout pensé à raisonner comme ça Merci à toi pour ton aide !

Du coup, voici un deuxième exo (je mettrai les 4 au fur et à mesure, pour que je comprenne bien) qu'on a fait :

Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5 ; on en tire deux consécutivement et avec remise et on regarde les numéros qu'elles portent. Dénotons avec X la variable aléatoire égale au plus petit numéro obtenu et Y la variable aléatoire égale au plus grand numéro obtenu.
1) Déterminer la loi conjointe du couple (X,Y) et les lois de X et Y
2) Déterminer si les variables X et Y sont indépendantes et corrélés.

1) Pour cette question j'ai fait un tableau à 2 entrées, avec les différentes probabilités, c'est à dire la probabilité de tirer une boule noire ou une boule rouge pour le premier et deuxièmre tirage.

2) Je n'ai pas réussi à la faire....

PS : j'ai eu 1/20 à mon partiel de maths, heureusement que je suis en bio ^^

[Amanuensis]

c'est faux en effet. Il fallait raisonner comme suit: ou bien le candidat connaît la bonne réponse ou bien il répond au hasard, et les deux éventualités sont exclusives. Il a une chance sur quatre de connaître la bonne réponse et dans le cas contraire, il a une chance sur dix de répondre juste par hasard. La proba cherchée est donc 1/4 + 3/4 * 1/10

C'est la proba de répondre juste, ça. Ce n'est pas la réponse à la question posée.

(La question est, selon ma compréhension, un calcul de proba conditionnelle, et demande d'appliquer la formule de Bayes. J'ai la réponse, mais la donner direct n'est pas très pédagogique...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

ah oui moi aussi j'étais à côté de la plaque. Mais ce calcul que j'ai donné sert quand-même à trouver la réponse.

[invite5966f389]

J'ai pas compris au final. Le calcul d'ambrosio ne représente qu'une étape ?

[Amanuensis]

J'ai pas compris au final. Le calcul d'ambrosio ne représente qu'une étape ?

Oui.

Connaissez-vous la notion de probabilité conditionnelle et la formule de Bayes ?

Faut formuler la question en termes de probabilités conditionnelles, et appliquer la formule de Bayes. Le calcul d'ambrosio intervient dans l'application de la formule.

[invite5966f389]

Je connais pas vraiment cette formule :s

Sinon, vous êtez sûr qu'il faut utiliser une formule ? Car en TD de maths on avait fait un exo en gros semblable, et en 1-2 calcul tout était réglé, d'où le fait qu'à cet exo de partiel j'ai fait pareil, car ça me semblait logique le résultat obtenu...

[Amanuensis]

Je ne connais ni le TD en question, ni les 1-2 calculs. Comment voulez-vous que je vous réponde ?

[invite5966f389]

Ben par rapport à l'exo présent, comment procéder alors ?

[Amanuensis]

Première étape : exprimer la question sous forme de probabilité conditionnelle.

La question est

Quelle est la probabilité qu'en ayant répondu correctement à la question, le candidat connaisse la réponse ?

Notons A l'événement "le candidat connait la réponse", et B l'événement "le candidat répond correctement".

On demande la probabilité de A ("le candidat connaisse la réponse") sachant B ("en ayant répondu correctement à la question").

La question demande de calculer la probabilité conditionnelle de A sachant B, p(A|B).

Est-ce cela est clair jusque là ?

(Le calcul d'ambrosio donne p(B).)

[invite5966f389]

Là ça va, je comprend le principe !

[Amanuensis]

Que signifie "A et B", et que vaut p(A et B) ?

Et comment calculer la proba conditionnelle p(A|B) à partir de p(A et B) et de p(B) ?

[invite5966f389]

A et B représentent les deux évènements.
Probabilité de B : 1/4 + 3/4 * 1/10
Probabilité de A : 1/4 (car p =0,25)

Et là j'aurais mutiplié les deux résultats, mais ça revient à ce que j'ai fait à l'exam...

[Amanuensis]

Et là j'aurais mutiplié les deux résultats, mais ça revient à ce que j'ai fait à l'exam...

Pour obtenir p(A et B) ? Ce serait le produit de p(A) et p(B) si les événements étaient indépendants l'un de l'autre. Mais ce n'est pas le cas ici.

"A et B" est l'événement conjoint, p(A et B) est la probabilité que à la fois l'élève connaisse la solution et donne un résultat juste.

Que vaut-elle ?

[invite5966f389]

Ah, on additionne alors les résultats si c'est dépendant !

[Amanuensis]

Ah, on additionne alors les résultats si c'est dépendant !

Non plus.

Juste appliquer le bon sens suffit. S'il connais la réponse, va-t-il répondre correctement ou non ?

D'où on déduit la probabilité de p(A et B)...

[invite5966f389]

Oui il répondra automatiquement bien.
Si je suis le théorème de Bayes, ça me ferait :

P(AB)p(A) / p(B), c'est ça ?

[Amanuensis]

Oui il répondra automatiquement bien.
Si je suis le théorème de Bayes, ça me ferait :

P(AB)p(A) / p(B), c'est ça ?

Avec mes notations, c'est

p(A|B) = p(A et B)/p(B)

[invite5966f389]

Le "et" correspond à une addition ?

[Amanuensis]

Le "et" correspond à une addition ?

Non, au "et" commun : A s'est produit et B s'est produit, les deux événements se sont produits.

On le note aussi comme l'intersection, A∩B.

[Amanuensis]

Pour en finir avec le premier exercice :

p(A et B) = 0.25, parce que A implique B ; s'il sait il répond correctement, donc la probabilité de savoir et répondre correctement est, dans ce cas, la probabilité de savoir.

La probabilité qu'il réponde correctement est p(B)=1/4 + 3/4 x 1/10, comme l'a indiqué ambrosio, soit 13/40.

Parmi ces 13/40, 10/40 correspondent au cas où il sait, 3/40 aux cas où il ne sait pas.

La proba conditionnelle demandée, p(A|B) est donc le rapport p(A et B)/p(B) = (10/40)/(13/40), soit 10/13, de l'ordre de 77%. C'est la proportion des cas où il sait parmi les cas où il répond correctement.

[invite5966f389]

Un grand merci de ton aide, j'en ai vraiment besoin !!

Pour l'exercice 2 que j'ai mis plus haut page 1, tu pourrais aussi m'aider s'il te plait ? Car c'est sur qu'un exo du même type retombera avec la loi conjointe X et Y !

[Amanuensis]

2) Déterminer si les variables X et Y sont indépendantes et corrélés.

La question devrait être "ou" plutôt que "et".

1) Pour cette question j'ai fait un tableau à 2 entrées, avec les différentes probabilités, c'est à dire la probabilité de tirer une boule noire ou une boule rouge pour le premier et deuxièmre tirage.

Il n'est pas question de noire ou rouge dans l'énoncé.

[invite5966f389]

Comment fait-on alors pour déterminer ces variables ? Dans beaucoup d'exo y'a cette question qui revient, mais concrètement, je ne sais pas quoi faire !

[invite5966f389]

Quelqu'un peut-il m'aider pour l'exercice 2 que j'ai posté à la première page s'il vous plaît ? Concernant les variables aléatoires

[Amanuensis]

25 possibilités de tirage, on peut faire à la main la distribution de probabilité du min et du max.

Par exemple, le max est égal à 1 avec une probabilité de 1/25 (à quel tirage cela correspond-il ?). Quelles sont les proba pour 2, 3, 4 et 5 ?

[invite5966f389]

Alors, 25 possibilités car on tire 2 fois et il y a 5 boules, cela fait 5x5 = 25, ok.

Par contre je comprend pas la suite de ta phrase, pourquoi le 1 est le max ?

Pour chaque boule on a une probabilité de 1/25, idem pour le deuxième tirage car on remet la boule dans l'urne après le premier !

[Amanuensis]

Par contre je comprend pas la suite de ta phrase, pourquoi le 1 est le max ?

Parmi les 25 cas, quels sont ceux tels que le max est égal à 1 ? Cela en fait combien sur les 25 ?

[invite5966f389]

Ben ça nous fait 2/25 car on peut tirer chaque numéro 2 fois de suite