Equation différentielle second ordre

[inviteda3529a9]

Bonjour à tous

J'ai une question sur ce type d'équation.
Admettons l'équation suivante:
3y''+y'-4y=x²
Je sais que la solution générale de l'équation sans second membre est:

y=A*exp(4x/3)+B*exp(x)

Je sais que la solution particulière de l'équation avec second membre est:

y=(-1/4)x²-(1/8)x-(13/32)

Comment trouver la solution particulière de l'équation avec second membre ?
Comment obtenir la solution : y=(-1/4)x²-(1/8)x-(13/32)

Ensuite, la réponse est:

y= A*exp(4x/3)+B*exp(x)-(1/4)x²-(1/8)x-(13/32)

PS: Bref, pourriez vous m'expliquer comment trouver la solution particulière de l'équation avec second membre d'une Equation différentielle second ordre ???

Merci d'avance

A très bientôt

Formule1
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[invite1228b4d5]

Salut

Pour une équation du 1er ordre, on utilise la méthode de variation de la constante.
Pour une équation du 2nd ordre, on utilise aussi cette méthode, mais on appelle ça la méthode de variation DES constantes. Tu fait comme dans le cas d'ordre 1 mais avec les deux constantes. Ensuite, injecte dans l'équa diff et tu obtient une relation.
La deuxième relation nécessaire vient d'un petit calcul avec les système différentiels :
(où et est une base de solution de l'équation différentiel homogène)

[invite371ae0af]

pour la solution particulière elle sera de la forme yo(x)=ax²+bx+c
tu remplaces dans ton équation différentielle et tu identifies a,b et c

[inviteda3529a9]

c'est à dire ???
Pourriez vous me détailler les étapes svp

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

je prend le yo précédent
en remplacant cela donne:
3yo"'(x)+yo'(x)-4yo(x)=x²
6a+2ax+b-4ax²-4bx-4c=x²
-4ax²+(2a-4b)x+(b-4c)=x²

par identification
-4a=1
2a-4b=0
b-4c=0
puis tu résous

[inviteda3529a9]

Merci beaucoup
Comment savez vous que la solution particulière elle sera de la forme yo(x)=ax²+bx+c

Et non avec exp , cos , sin ... etc

Quand est ce que la solution particulière elle sera de la forme exp , cos , sin ... etc ou encore exp(A)*cos(B) , exp(A)*sin(B) , cos²(x) ... etc ???

Merci d'avance

[invite371ae0af]

si l'équation avec second membre possède exp(x) alors elle sera de la forme aexp(x)

de même pour cos et sin

[invitec17b0872]

Bonjour,

Info : j'emploie les maths en tant que physicien, et pas en tant que mathématicien, mon conseil n'est donc pas rigoureux, prenez le comme une astuce :

En général, il n'est pas inutile de chercher une solution particulière de la forme du second membre.
Ici le second membre est x², on cherchera astucieusement une solution particulière de la forme d'un polynôme du second degré.

Bon courage.

[inviteda3529a9]

ok merci beaucoup à tous

Cependant, comment résoudre:

y'+a(x)*y=f(x)

et z(x)*y''+r(x)*y'+a(x)*y=f(x)

Avec a(x),f(x), z(x) et r(x) quatre fonctions dépendant de la variable x.

Merci d'avance.

[invite371ae0af]

tu regarde de quel forme est f(x) pour avoir la solution particulière
mais dans le cas ou f(x) est une fraction il vaut mieux utiliser la variation de la constante

as tu un exemple?