Continuité des valeurs propres d'une matrice

[silk78]

Bonjour,

J'ai une petite question à propos de la continuité des valeurs propres d'une matrice, pour savoir comment on formalise ça concrètement. On montre assez facilement que l'application qui à une matrice M associe son polynôme caractéristique est continue, mais pour certains problèmes, on aurait plutôt besoin d'avoir des informations sur l'évolution de chacune des valeurs propres, mais se pose alors (du moins pour moi) le problème de la différentiation des différentes valeurs propres d'une matrice.

Avec la remarque sur le polynôme caractéristique, le problème se ramène à l'étude de la continuité des racines d'un polynôme. J'ai lu quelque part que l'application qui à un polynôme associait l'ensemble de ses racines est continue, mais pour parler de ça, il faut déjà avoir muni un ensemble d'ensemble d'une topologie, et pour que le résultat soit intéressant, il faut de plus que la topologie sur l'ensemble d'ensembles rende compte de l'évolution de chacune des racines.

Je ne sais pas si je suis très clair. Par exemple, ce qui me pose problème en premier lieu, c'est qu'il n'y a pas d'ordre dans les élément d'un ensemble, il est donc difficile de relier les éléments de deux ensembles proches deux à deux. Peut-être que l'on peut s'en sortir en parcourant toutes les associations possibles d'éléments deux à deux, et en minimisant les distances trouvées, mais ça demande un certain travail, notamment pour être sur que chaque élément n'est pas utilisé dans deux distances (je sais pas si vous voyez ce que je veux dire).
Un autre problème que je vois est le cas où une racine/valeur propre est multiple : elle n'apparait donc qu'une fois dans l'ensemble. Outre les problèmes de comparaisons d'ensembles de tailles différentes, il faudrait aussi pouvoir rendre compte que cet élément doit être compté deux fois.

Ma question principale est en fait surtout une vérification. Est-ce que la proposition suivante est vraie :

Proposition :
Soient un corps, une clôture algébrique de et n un entier naturel.
Il existe n applications continues λ₁,...,λ_n, de dans , telles que pour tout , on ait :

Quelques petites questions supplémentaires, si jamais la proposition s'avère vraie :
- Soit D=diag(a₁,...,a_n) avec a₁,...,a_n des élements distincts de K. Peut-on imposer le fait que λ_i(M)=a_i ; et si oui, as-t-on alors unicité des λ_i (ça paraitrait assez logique) ?
- Peut-on donner des informations supplémentaires sur les λ_i, par exemple uniforme continuité, lipschitziennité, dérivabilité si on considère les λ_i(M(t)) d'une matrice à paramètre t ?
- Est-ce que c'est dur à démontrer ?

En général, comment sont formalisés les problèmes de continuité des valeurs propres d'une matrice ? Si jamais ils sont traités différemment, pourquoi (formalisme plus simple, plus d'informations, ...) ?

Voilà, je vous remercie déjà d'avoir tout lu, et d'avance pour vos réponses.
Silk
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[invite4ef352d8]

Salut !

pour parler de la continuité de la fonction qui a un polynôme associe ces racines, tu peux considérer que c'est une fonction à valeur dans C^n quotienter par l'action du groupe symétrique sur les composantes (qui est naturellement munie d'une topologie quotient) et on aura bien continuité dans ce cadre.


pour la proposition dont tu parle, il me semble qu'il faut séparer en deux problème : "est-ce que c'est vrai localement", et "est-ce qu'on va pouvoir recoller les fonctions locale."

pour la première je pense que ca ce passe très bien, et pour la deuxième je pense que ca va ce passer assez mal ^^

note qu'il faut aussi peut-etre donner quelque precision sur K et L... : pour parler de continuité il faut que K et L soit munie de topologie, et je ne sais pas trop dans quel niveau de généralité le résultat sera vrai (enfin, je pense qu'on peut raisonnablement ce placer dans le cadre des corps valué complet)

[silk78]

Salut, et merci de ta réponse

Pour "C^n quotienté par l'action du groupe symétrique sur les composantes", j'ai pas trop les connaissances pour le moment, donc faudra que j'étudie ça, mais c'était notamment pour échapper à des considérations de ce genre (du moins pour le moment, hein) que je demandais pour la proposition

Sinon, tu as bien entendu raison en disant que K et L doivent être muni d'une topologie, à vrai dire je croyais l'avoir mis.
En fait, je m'intéresse surtout au cas complexe pour le moment, quitte à réfléchir à d'autres cas plus tard.
D'ailleurs, je viens de repensé à une démonstration des propriétés des disques de Gerschgorin que j'avais lu quelque part, qui sans vraiment l'écrire formellement, utilisait une proposition qui devait pas mal ressembler. Je vais voir si je retrouve ce qu'ils disaient exactement.

Pour l'histoire du recollement aux frontières, quel genre d'obstacles va-t-on rencontrer ?

Merci encore,
Silk

[invite4ef352d8]

Bon en fait, après reflexion tout ce passe bien sur un corps quelconque tant qu'on est au voisinage d'un polynome à racine simple (on peut montrer dans ce cas que les racines sont dévelopable en fonction analytique) en revanche au voisinage d'une racine multiple c'est faux en général :

si on regarde la famille de polynome X²-lambda avec lambda qui varie dans C, les fonctions que tu cherche sont des fonctions complexe vérifiant f(t)²=t et ca on sait bien que ca n'existe pas (enfin, pas continu !! )

en revanche si on impose que la famille de polynome soit indéxé par un parametre réel (t) alors là ca va marcher, mais les fonction obtenue ne seront en général pas C1, ni même Lipschitzienne (cf la fonction racine|x| par exemple)

[A voir en vidéo sur Futura]

[silk78]

Merci pour ta réponse. La démonstration pour le polynôme à racine simple est-elle compliquée ?
Quand tu parles de polynôme indéxés par t, tu considères une fonction f de C dans C[X], et tu regardes les λ₁(f(t)),...,λ_n(f(t)) ?

Sinon, j'ai retrouvé le passage à propos des disques de Gerschgorin. C'est dans ce document, page 6, dans la démonstration de la propriété 3. Est-ce que ça ne ressemble pas à ma proposition ?

Silk

[invite4ef352d8]

"La démonstration pour le polynôme à racine simple est-elle compliquée ?" >>> Non je ne pense pas, à mon avis, si on ce donne un polynome "générique" P (ie ces coeficient sont des indeterminé) une racine de P "alpha" et qu'on suppose que P'(alpha) est non nul

on doit pouvoir par récurence exprimer les coeficients d'une série entière g en les coeficient de P qui va vérifier formellement P(g)=0 et dont le coefcient constant* (on dévelope au voisinage des coeficient pour lequel alpha est racine de P) soit alpha. mais j'en sais pas beaucoup plus.


sinon oui par "famille paramétré par t" je parlais d'une fonction de C dans C[X]