Bonjour à tous
Comment trouver la primitive de 1/[(1+x²)*sqrt(1+x²)] ?
J'ai essayé pas intégration en procédant à un changement de variable t mais celà ne marche pas.
J'ai pris t=1+x² et t=sqrt(1+x²) mais quand on doit déterminer x, deux solutions opposées par leur signe se présentent.
Merci d'avance de votre aide.
en général on écrit l'intégrande (1+x^2)^(-3/2)
De plus, comment aboutir au résultat suivant:
Intégrale(1/[(1+x²)*sqrt(1+x²)]dx) de -1 à sqrt(3) = Intégrale(cos(t)dt) de -pi/4 à pi/3 ?
Comment obtient on le cos(t) ?
Je ne vois pas où vous voulez en venir Ambrosio ?
Bonjour,
Tu peux effectuer le changement de variable t=arctan(x). Les formules trigonométriques usuelles et des considérations sur les signes devraient te permettre de conclure
Silk
ok merci et pour:
Intégrale(1/[(1+x²)*sqrt(1+x²)]dx) de -1 à sqrt(3) = Intégrale(cos(t)dt) de -pi/4 à pi/3 ?
Comment obtient on le cos(t) ?
Le changement de variable vaut pour les deux calculs. Après, si j'ai bien compris, tu sors du lycée là, et j'avoue que je ne sais plus trop ce que l'on connait au lycée sur les fonctions trigonométriques et leurs réciproques
Connais-tu (ou encore mieux sais-tu calculer) la dérivée de arctan(x) par exemple ? Peux-tu aussi donner une autre expression de 1+tan²(t) ?
Silk
effectivement, je sors du lycée.
On n'a jamais étudier arctan (ni arccos et arcsin au passage ^^)
Par contre, je sais que 1+tan²(t) = \dfrac{1}{cos²(x)} \
Bon bah t'as déjà une des formules(d'ailleurs, si tu veux afficher des formules avec LaTeX, utilise les balises TEX sinon ça affichera le code).
Pour l'autre, c'est un assez bon entraînement de la retrouver. En fais tu as besoin de deux résultats, mais encore une fois je me rappelle plus de ce qu'on voit au lycée.
Connais tu la dérivée de tan(x) ? Et connais-tu la formule de la dérivée de la réciproque, lorsque celle-ci est bien définie ?
Silk
\frac{\mathrm{1}}{\cos²{x}}
oui la dérivée de tan(x) sont les 2 formules soit 1+tan²(x).
quelle est la dérivée de la réciproque ?
"lorsque celle-ci est bien définie ?" =) vous faites référence à l'ensemble de définition ?
Pour la formule Latex faut que tu écrives un truc du genre :
avec des crochets [ ] à la place des parenthèses ( ) dans les balises TEX.Code:(TEX)1+tan^2(t) = \frac{1}{cos^2(x)}(/TEX)
Pour la formule de la réciproque, je te parle surtout de deux choses :
- déjà une fonction n'admet pas toujours de réciproque
- et ensuite, je parlais aussi des conditions pour que la dérivée de la réciproque existe
Vois-tu de quelle formule je parle ?
Silk
c'est la primitive ???
Non, ça ça serait la réciproque de l'application dérivée (et encore). Moi je parle de la dérivée de la réciproque. Voilà la formule dont je parlais :
Soient I et J deux intervalles, f une fonction bijective de I vers J, avec f dérivable sur I. On note g la réciproque de f. Si f' ne s'annule pas sur I, alors g est dérivable sur J et :
Connaissais-tu cette formule et toute les notions qu'elle utilise ? Peux-tu trouver la dérivée d'arctan (qui je le rappelle est la réciproque de tan) ?
Silk
L'idée est de faire apparaître quelque chose qu'on saura intégrer par parties.
On utilise une intégration par parties pour la seconde intégrale, car une primitive dec'est
Au final, les deux intégrales restantes s'annulent :
Ce qu'on peut vérifier en dérivant.
Merci pour tout.
Je vous tiens au courant si j'ai d'autres questions.
Cependant, en Terminale, on a pas encore étudié la formule que vous avez cité concernant la réciproque.
C'est bien ce que je me disais. En fait ici tu as juste besoin de savoir que la dérivée de arctan est 1/(1+x²) (ce que tu retrouves avec la formule sur la réciproque, un calcul assez classique).
Bon, comme breukin l'a montré, tu peux intégrer ta fonction sans faire appel à la trigonométrie, et ce de manière plutôt élégante en plus. Mais pour la question avec l'intégrale du cosinus, c'est avec l'arctan que tu arrives au résultat (enfin tu pourrais calculer les deux intégrales séparément et dire qu'elles ont égales mais ça présenterait assez peu d’intérêt).
Silk
comment calcule t-on la primitive de -x/(1+x²)^(3/2) ?
Il faut reconnaître une forme u'*us avec s réel (enfin ici rationnel), possiblement négatif. Il te reste plus qu'à intégrer ça comme une puissance.
Silk
